15. Действие деления смешанных чисел (упражнения 2.407–2.471) — с. 100
Вопросы к п. 15.
Какие два числа называют взаимно обратными?
Приведите примеры. Какое число обратно числу a/b?
Какое число обратно натуральному числу m?
Как записать число, обратное смешанному числу?
Как найти частное смешанных чисел?
Как разделить дробь на натуральное число?
Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1. Примеры: 3/7 и 7/3; 5 и 1/5; 2 1/2 (= 5/2) и 2/5.
Числу a/b (a ≠ 0, b ≠ 0) обратно число b/a, так как a/b · b/a = ab/ba = 1.
Натуральному числу m обратно число 1/m (m · 1/m = 1).
Чтобы записать число, обратное смешанному, надо смешанное число записать неправильной дробью и «перевернуть» её: для 2 1/5 = 11/5 обратное число 5/11.
Чтобы найти частное двух смешанных чисел, надо записать их неправильными дробями и применить алгоритм деления дробей (умножить делимое на число, обратное делителю): 2 6/7 : 1 4/21 = 20/7 : 25/21 = 20/7 · 21/25 = 12/5 = 2 2/5.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо умножить её на дробь, обратную этому числу: 9/11 : 5 = 9/11 · 1/5 = 9/55 (то есть знаменатель умножают на это число).
Числу a/b (a ≠ 0, b ≠ 0) обратно число b/a, так как a/b · b/a = ab/ba = 1.
Натуральному числу m обратно число 1/m (m · 1/m = 1).
Чтобы записать число, обратное смешанному, надо смешанное число записать неправильной дробью и «перевернуть» её: для 2 1/5 = 11/5 обратное число 5/11.
Чтобы найти частное двух смешанных чисел, надо записать их неправильными дробями и применить алгоритм деления дробей (умножить делимое на число, обратное делителю): 2 6/7 : 1 4/21 = 20/7 : 25/21 = 20/7 · 21/25 = 12/5 = 2 2/5.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо умножить её на дробь, обратную этому числу: 9/11 : 5 = 9/11 · 1/5 = 9/55 (то есть знаменатель умножают на это число).
2.407. Найдите произведение: а) 9 · 1/9; б) 1/23 · 23; в) 13/101 · 101/13; г) 99/646 · 646/99; д) 5/12 · 2 2/5; е) 2 5/6 · 6/17; ж) 4/15 · 3,75; з) 0,6 · 1 2/3.
Во всех примерах множители взаимно обратные, поэтому произведение равно 1.
а) 9 · 1/9 = 1.
б) 1/23 · 23 = 1.
в) 13/101 · 101/13 = 1.
г) 99/646 · 646/99 = 1.
д) 2 2/5 = 12/5; 5/12 · 12/5 = 1.
е) 2 5/6 = 17/6; 17/6 · 6/17 = 1.
ж) 3,75 = 15/4; 4/15 · 15/4 = 1.
з) 0,6 = 3/5, 1 2/3 = 5/3; 3/5 · 5/3 = 1.
а) 9 · 1/9 = 1.
б) 1/23 · 23 = 1.
в) 13/101 · 101/13 = 1.
г) 99/646 · 646/99 = 1.
д) 2 2/5 = 12/5; 5/12 · 12/5 = 1.
е) 2 5/6 = 17/6; 17/6 · 6/17 = 1.
ж) 3,75 = 15/4; 4/15 · 15/4 = 1.
з) 0,6 = 3/5, 1 2/3 = 5/3; 3/5 · 5/3 = 1.
2.408. Являются ли числа взаимно обратными: а) 6 1/7 и 7/43; б) 45 и 1/40; в) 1,2 и 5/6; г) 2 1/2 и 0,4; д) 4 1/3 и 3 1/4; е) 0 и 1?
Проверяем, равно ли произведение 1.
а) 6 1/7 = 43/7; 43/7 · 7/43 = 1 — да.
б) 45 · 1/40 = 45/40 = 9/8 ≠ 1 — нет (обратное к 45 — это 1/45).
в) 1,2 = 6/5; 6/5 · 5/6 = 1 — да.
г) 2 1/2 = 5/2; 0,4 = 2/5; 5/2 · 2/5 = 1 — да.
д) 13/3 · 13/4 = 169/12 ≠ 1 — нет.
е) 0 · 1 = 0 ≠ 1 — нет (у числа 0 обратного числа не существует).
а) 6 1/7 = 43/7; 43/7 · 7/43 = 1 — да.
б) 45 · 1/40 = 45/40 = 9/8 ≠ 1 — нет (обратное к 45 — это 1/45).
в) 1,2 = 6/5; 6/5 · 5/6 = 1 — да.
г) 2 1/2 = 5/2; 0,4 = 2/5; 5/2 · 2/5 = 1 — да.
д) 13/3 · 13/4 = 169/12 ≠ 1 — нет.
е) 0 · 1 = 0 ≠ 1 — нет (у числа 0 обратного числа не существует).
2.409. Какое число обратно числу: а) 7/10; б) 11; в) 2/5; г) 9/23; д) 1/9; е) 8 13/15; ж) 0,6; з) 2,75?
Переворачиваем дробь (целое — это дробь со знаменателем 1, смешанное и десятичное числа записываем дробью).
а) 10/7 = 1 3/7.
б) 1/11.
в) 5/2 = 2 1/2.
г) 23/9 = 2 5/9.
д) 9.
е) 8 13/15 = 133/15, обратное 15/133.
ж) 0,6 = 3/5, обратное 5/3 = 1 2/3.
з) 2,75 = 11/4, обратное 4/11.
а) 10/7 = 1 3/7.
б) 1/11.
в) 5/2 = 2 1/2.
г) 23/9 = 2 5/9.
д) 9.
е) 8 13/15 = 133/15, обратное 15/133.
ж) 0,6 = 3/5, обратное 5/3 = 1 2/3.
з) 2,75 = 11/4, обратное 4/11.
2.410. Вычислите произведение: а) 1 63/95 · 5/7 · 7/5; б) 2,8 · 9/11 · 11/9; в) 42/47 · 9,8 · 47/42.
В каждом произведении есть пара взаимно обратных множителей, их произведение равно 1.
а) 5/7 · 7/5 = 1, остаётся 1 63/95.
б) 9/11 · 11/9 = 1, остаётся 2,8.
в) 42/47 · 47/42 = 1, остаётся 9,8.
Ответ: а) 1 63/95; б) 2,8; в) 9,8.
а) 5/7 · 7/5 = 1, остаётся 1 63/95.
б) 9/11 · 11/9 = 1, остаётся 2,8.
в) 42/47 · 47/42 = 1, остаётся 9,8.
Ответ: а) 1 63/95; б) 2,8; в) 9,8.
2.411. Найдите частное: а) 1 : 3; б) 1 : 1/6; в) 1 : 0,2; г) 1 : 0,7; д) 1 : 7/12; е) 1 : 2 1/7; ж) 1 : 1,2; з) 1 : 1,5.
Деление единицы на число даёт число, обратное этому числу.
а) 1/3.
б) 6.
в) 0,2 = 1/5, получаем 5.
г) 0,7 = 7/10, получаем 10/7 = 1 3/7.
д) 12/7 = 1 5/7.
е) 2 1/7 = 15/7, получаем 7/15.
ж) 1,2 = 6/5, получаем 5/6.
з) 1,5 = 3/2, получаем 2/3.
а) 1/3.
б) 6.
в) 0,2 = 1/5, получаем 5.
г) 0,7 = 7/10, получаем 10/7 = 1 3/7.
д) 12/7 = 1 5/7.
е) 2 1/7 = 15/7, получаем 7/15.
ж) 1,2 = 6/5, получаем 5/6.
з) 1,5 = 3/2, получаем 2/3.
2.412. Выполните действия: а) (4/7 + 3/7) : 100; б) (3/5 + 5/6) · 30/43; в) (1 2/3 − 2/3) : 2/9; г) (8/21 − 2/7) · 10 1/2.
а) 4/7 + 3/7 = 1; 1 : 100 = 1/100 = 0,01.
б) 3/5 + 5/6 = 18/30 + 25/30 = 43/30; 43/30 · 30/43 = 1.
в) 1 2/3 − 2/3 = 1; 1 : 2/9 = 9/2 = 4 1/2.
г) 8/21 − 2/7 = 8/21 − 6/21 = 2/21; 2/21 · 21/2 = 1.
Ответ: а) 0,01; б) 1; в) 4 1/2; г) 1.
б) 3/5 + 5/6 = 18/30 + 25/30 = 43/30; 43/30 · 30/43 = 1.
в) 1 2/3 − 2/3 = 1; 1 : 2/9 = 9/2 = 4 1/2.
г) 8/21 − 2/7 = 8/21 − 6/21 = 2/21; 2/21 · 21/2 = 1.
Ответ: а) 0,01; б) 1; в) 4 1/2; г) 1.
2.413. Решите уравнение: а) 31/50 x = 1; б) 51/62 y = 1; в) 0,4a = 1; г) 0,9b = 1; д) 9/101 x = 9/101; е) 13/6 y = 13/6.
Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель.
а) x = 1 : 31/50 = 50/31 = 1 19/31.
б) y = 62/51 = 1 11/51.
в) a = 1 : 0,4 = 2,5.
г) b = 1 : 0,9 = 10/9 = 1 1/9.
д) x = 9/101 : 9/101 = 1.
е) y = 1.
а) x = 1 : 31/50 = 50/31 = 1 19/31.
б) y = 62/51 = 1 11/51.
в) a = 1 : 0,4 = 2,5.
г) b = 1 : 0,9 = 10/9 = 1 1/9.
д) x = 9/101 : 9/101 = 1.
е) y = 1.