§ 6. Десятичные дроби. 41. Десятичная запись дробей — с. 95
6.16. Вычислите: а) 7 5/11 + 5 8/11 ↑ 2 2/11 + 2 8/11; б) 9 6/15 ↑ 5 3/5 + 4 4/15 + 2 2/5.
Знак между вторым и третьим слагаемыми на скане плохо читается; он похож на «–», так и считаем. а) 7 5/11 + 5 8/11 = 12 + 13/11 = 13 2/11; 13 2/11 – 2 2/11 = 11; 11 + 2 8/11 = 13 8/11. б) 9 6/15 = 9 2/5; 9 2/5 – 5 3/5 = 8 7/5 – 5 3/5 = 3 4/5; 3 4/5 + 4 4/15 = 3 12/15 + 4 4/15 = 8 1/15; 8 1/15 + 2 2/5 = 8 1/15 + 2 6/15 = 10 7/15. Ответ: а) 13 8/11; б) 10 7/15. Оговорка: если на месте этого знака стоит «+», то ответы такие: а) 18 1/11; б) 21 2/3.
6.17. Запишите все смешанные числа, у которых целая часть 15, а знаменатель 5.
Дробная часть смешанного числа правильная, значит, числитель меньше 5 и больше 0: 1, 2, 3, 4. Числа: 15 1/5; 15 2/5; 15 3/5; 15 4/5.
6.18. Запишите в виде смешанного числа: а) 4/3; б) 37/12; в) 41/6; г) 263/30; д) 503/100.
Делим числитель на знаменатель с остатком: целая часть — частное, числитель дроби — остаток. а) 4/3 = 1 1/3. б) 37/12 = 3 1/12. в) 41/6 = 6 5/6. г) 263/30 = 8 23/30. д) 503/100 = 5 3/100.
6.19. Выразите в виде неправильной дроби число: а) 1 1/3; б) 3 7/10; в) 18 6/7; г) 11 11/30; д) 8 3/10.
Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель. а) 1 1/3 = 4/3. б) 3 7/10 = 37/10. в) 18 6/7 = 132/7. г) 11 11/30 = 341/30. д) 8 3/10 = 83/10.
6.20. Что меньше: а) 8 6/7 или 6 2/7; б) 8 3/11 или 7 10/11; в) 8 5/9 или 79/9; г) 3 3/4 м или 3,85 см; д) 11 7/13 или 150/13; е) 7 2/5 кг или 7400 кг?
а) Целые части разные: 6 2/7 < 8 6/7, меньше 6 2/7. б) 7 10/11 < 8 3/11, меньше 7 10/11. в) 8 5/9 = 77/9 < 79/9, меньше 8 5/9. г) Переведём в одни единицы: 3 3/4 м = 3,75 м = 375 см, а 3,85 см гораздо меньше, поэтому меньше 3,85 см. д) 11 7/13 = (143 + 7)/13 = 150/13, числа равны. е) 7 2/5 кг = 7,4 кг, а 7400 кг намного больше, поэтому меньше 7 2/5 кг. Оговорка: в г) и е) единицы разные; если в е) задумано 7400 г, то числа равны (7,4 кг = 7400 г).
6.21. Развивай мышление. Схематический план квартала города показан на рисунке 6.3. Предложите кратчайший маршрут от точки M до входа: а) в детский сад; б) в школу; в) на почту; г) в дом 9; д) в дом 2, корпус 2. Вычислите длину этого маршрута, если расстояние между домами равно 30 м, а у каждого дома ширина 20 м и длина 60 м. Сколько вариантов кратчайших маршрутов существует в каждом случае?
Считаем, что дома стоят в 3 ряда по 5 домов, длина дома (60 м) идёт вдоль ряда, ширина (20 м) поперёк, между домами 30 м, вход расположен посередине стороны. Входы домов верхнего ряда выходят на северную улицу, домов среднего ряда — на улицу между средним и нижним рядом, домов нижнего ряда — туда же (вход сверху). Точка M — правый нижний угол квартала. Ходим по улицам, поэтому длина пути равна сумме смещений по горизонтали и по вертикали. Расстояние между центрами соседних домов в ряду 60 + 30 = 90 м. а) Детский сад: от M вверх 120 м вдоль восточной улицы и влево 120 м; 240 м; свернуть налево нужно у одной из двух поперечных улиц, правее двери, и подняться на север; всего 4 маршрута (поворот налево можно сделать на одном из четырёх уровней улиц). б) Школа: вверх 120 м и влево 300 м, всего 420 м; нужно 3 раза свернуть налево на 3 поперечных улицах и 3 раза идти вверх: C(6,3) = 20 маршрутов. в) Почта (вход со стороны улицы между средним и нижним рядом): вверх 50 м, влево 300 м, всего 350 м; подняться на улицу можно у одной из 4 поперечных улиц: 4 маршрута. г) Дом 9: вверх 120 м и влево 30 м, всего 150 м; единственный маршрут (по восточной улице, затем вдоль северной стены): 1. д) Дом 2, корпус 2 (вход сверху): вверх 20 м и влево 390 м, всего 410 м; подняться на улицу между рядами можно у одной из 5 поперечных улиц: 5 маршрутов. Ответ: 240 м (4); 420 м (20); 350 м (4); 150 м (1); 410 м (5). Оговорка: положение входов взято по рисунку, расчёт приблизительный и зависит от принятой модели (вход в середине стороны, путь вдоль стен).
6.22. У двух прямоугольных параллелепипедов одинаковые объёмы. У одного из них измерения равны 20 см, 12 см и 15 см. Найдите ширину другого параллелепипеда, если его высота равна 18 см, а длина — 25 см.
Объём первого: 20 · 12 · 15 = 3600 (см³). У второго объём такой же: 3600 = 25 · 18 · a, откуда a = 3600 : 450 = 8 (см). Ответ: 8 см.
6.23.
1. Масса трёх пирожков с капустой и двух ватрушек с творогом равна 770 г, причём пирожок легче ватрушки в 4 раза. Чему равна масса одной ватрушки?
2. Масса двух буханок чёрного хлеба и трёх одинаковых батонов белого хлеба равна 2 кг 800 г, причём буханка чёрного хлеба в 2 раза тяжелее батона белого хлеба. Чему равна масса буханки чёрного хлеба?
3. За три дня тренировок лыжник прошёл 51 км 300 м, причём за первые два дня он прошёл одинаковое расстояние, а в третий — на 3 км 300 м меньше. Какое расстояние прошёл лыжник в первый день?
4. Альпинисты поднялись на высоту 1 км 830 м за четыре дня. Первые три дня они преодолевали одинаковую высоту, а в четвёртый день — на 30 м больше. Найдите высоту подъёма альпинистов в третий день.
1) Пусть пирожок весит x г, тогда ватрушка 4x г. 3x + 2 · 4x = 11x = 770, x = 70 г, ватрушка 4 · 70 = 280 г. 2) Пусть батон весит b г, тогда буханка 2b. 2 · 2b + 3b = 7b = 2800, b = 400 г, буханка 800 г. 3) 51 км 300 м = 51 300 м. Пусть в первый день x м, во второй x м, в третий x – 3300 м: 3x – 3300 = 51 300, 3x = 54 600, x = 18 200 м = 18 км 200 м. 4) 1 км 830 м = 1830 м. Пусть в каждый из первых трёх дней x м, в четвёртый x + 30: 4x + 30 = 1830, 4x = 1800, x = 450 м. Ответ: 1) 280 г; 2) 800 г; 3) 18 км 200 м; 4) 450 м.