§ 5. Обыкновенные дроби. 25. Окружность, круг, шар, цилиндр — с. 9
5.15. Вычислите. а) 24 – 19, ·8, +12, –17, :5; б) 42 – 33, ·6, +27, –9, :8; в) 57 – 49, ·7, +14, –28, :7; г) 72 – 67, ·6, +24, –20, :17; д) 66 – 59, ·7, +17, –38, :4.
Действия выполняем по цепочке, слева направо. а) 24 – 19 = 5; 5 · 8 = 40; 40 + 12 = 52; 52 – 17 = 35; 35 : 5 = 7. Ответ: 7. б) 42 – 33 = 9; 9 · 6 = 54; 54 + 27 = 81; 81 – 9 = 72; 72 : 8 = 9. Ответ: 9. в) 57 – 49 = 8; 8 · 7 = 56; 56 + 14 = 70; 70 – 28 = 42; 42 : 7 = 6. Ответ: 6. г) 72 – 67 = 5; 5 · 6 = 30; 30 + 24 = 54; 54 – 20 = 34; 34 : 17 = 2. Ответ: 2. д) 66 – 59 = 7; 7 · 7 = 49; 49 + 17 = 66; 66 – 38 = 28; 28 : 4 = 7. Ответ: 7.
5.16. Сколько получится, если миллион уменьшить в 10 раз, а затем уменьшить на сотню?
Миллион — 1 000 000. Уменьшить в 10 раз: 1 000 000 : 10 = 100 000. Уменьшить на сотню (на 100): 100 000 – 100 = 99 900. Ответ: 99 900.
5.17. Назовите координаты точек F, K, N, C и D на рисунке 5.9, если M(20). У какой точки координата больше: K или C; C или D?
На рисунке 5.9 точка O — начало отсчёта (0). От O до M ровно 5 клеток, а координата M равна 20, поэтому одна клетка соответствует 4 единицам. Считая клетки от O: K — 2 клетки, K(8); C — 7,5 клетки, C(30); F — 12 клеток, F(48); N — 15 клеток, N(60); D — 17,5 клетки, D(70). Сравнение: у точки C координата больше, чем у K (30 > 8); у точки D координата больше, чем у C (70 > 30). Оговорка: положение C и D (на полклетки) прочитано по рисунку приблизительно.
5.18. Выразите в миллиметрах: а) половину дециметра; б) четверть сантиметра; в) пятую часть дециметра; г) пятидесятую часть дециметра; д) сотую часть дециметра; е) тысячную часть километра.
1 дм = 100 мм; 1 см = 10 мм; 1 км = 1 000 000 мм. а) 100 мм : 2 = 50 мм. б) 10 мм : 4 = 2,5 мм (2 мм 5 десятых). в) 100 : 5 = 20 мм. г) 100 : 50 = 2 мм. д) 100 : 100 = 1 мм. е) 1 000 000 : 1000 = 1000 мм (это 1 м).
5.19. Выразите в граммах: а) сотую часть килограмма; б) десятую часть центнера; в) двадцать пятую часть килограмма; г) четверть центнера; д) тысячную часть тонны; е) сороковую часть тонны.
1 кг = 1000 г; 1 ц = 100 кг = 100 000 г; 1 т = 1000 кг = 1 000 000 г. а) 1000 : 100 = 10 г. б) 100 000 : 10 = 10 000 г. в) 1000 : 25 = 40 г. г) 100 000 : 4 = 25 000 г. д) 1 000 000 : 1000 = 1000 г. е) 1 000 000 : 40 = 25 000 г.
5.20. Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм, и маленькие кубики сложили в один ряд. Другой куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и из этих кубиков также сложили один ряд. Какой из этих рядов короче?
Во сколько раз?
Куб с ребром 1 м = 10 дм содержит 10 · 10 · 10 = 1000 кубиков с ребром 1 дм. В ряд они займут 1000 дм = 100 м. Тот же куб с ребром 1 м = 100 см содержит 100 · 100 · 100 = 1 000 000 кубиков с ребром 1 см; ряд из них — 1 000 000 см = 10 000 м. Первый ряд короче: 10 000 : 100 = 100 раз. Ответ: ряд из кубиков с ребром 1 дм короче в 100 раз.
5.21. а) Справедливы ли равенства: 1³ + 2³ = (1 + 2)²; 1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²; 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)²? б) Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами. в) Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.
а) 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 и (1 + 2)² = 9 — верно. 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 и (1 + 2 + 3)² = 6² = 36 — верно. 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 36 + 64 = 100 и (1 + 2 + 3 + 4)² = 10² = 100 — верно. Все равенства справедливы. б) Сумма кубов нескольких первых подряд идущих натуральных чисел (начиная с 1) равна квадрату суммы этих чисел. в) Для семи чисел: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784; (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)² = 28² = 784. Свойство выполняется.
5.22. По правилам пожарной безопасности около пожарного щита должен находиться стальной ящик для песка размером 700 × 900 × 500 мм. а) Вычислите массу песка в ящике, если масса 1 дм³ песка равна 1 кг 600 г. б) Сколько нужно купить банок краски, чтобы окрасить ящик снаружи и изнутри вместе с крышкой размером 750 × 960 мм, если на покраску 1 дм² нужно 7 г краски и в продаже есть банки по 2 кг?
а) Размеры ящика: 700 мм = 7 дм, 900 мм = 9 дм, 500 мм = 5 дм. Объём 7 · 9 · 5 = 315 (дм³). Масса песка 315 · 1,6 = 504 (кг) (1 кг 600 г = 1,6 кг). б) Ящик без крышки: дно 7 · 9 = 63 (дм²); четыре стенки: 2 · (7 · 5) + 2 · (9 · 5) = 70 + 90 = 160 (дм²); всего одна сторона 63 + 160 = 223 (дм²). Снаружи и изнутри: 223 · 2 = 446 (дм²). Крышка 750 × 960 мм = 7,5 дм × 9,6 дм = 72 дм²; с двух сторон 144 дм². Крышку красим с одной стороны (сверху): 7,5 дм × 9,6 дм = 72 дм². Всего красить 446 + 72 = 518 (дм²). Краски нужно 518 · 7 = 3626 (г) = 3 кг 626 г. Две банки по 2 кг (4 кг) хватает. Ответ: а) 504 кг; б) 2 банки (совпадает с ответом в конце учебника). Оговорка: толщиной стенок пренебрегаем; если красить крышку с обеих сторон, потребуется 590 дм² и 4 кг 130 г краски, то есть 3 банки, — но в ответах учебника указано 2 банки, поэтому принято первое прочтение.
5.23. Ребро первого куба 8 дм, а второго — 4 дм. Во сколько раз объём второго куба меньше объёма первого?
Во сколько раз площадь поверхности второго куба меньше площади поверхности первого?
Ребро второго куба в 8 : 4 = 2 раза меньше. Объёмы: 8³ = 512 (дм³) и 4³ = 64 (дм³); 512 : 64 = 8, объём второго куба меньше в 8 раз. Площади поверхности (6 граней): 6 · 8² = 384 (дм²) и 6 · 4² = 96 (дм²); 384 : 96 = 4, площадь поверхности второго куба меньше в 4 раза. Ответ: в 8 раз; в 4 раза.