§ 5. Обыкновенные дроби. 25. Окружность, круг, шар, цилиндр — с. 8
5.4. а) Измерьте расстояния от точек A, E, K и F до центра круга (рис. 5.7). Сравните эти расстояния с радиусом круга. Какое предположение можно сделать? б) Пересекают ли отрезки AE, AB и FA окружность (см. рис. 5.7)?
Какое предположение можно сделать?
а) Радиус круга на рисунке около 1,5 см. Измерения линейкой дают примерно: OA ≈ 1 см, OE ≈ 0,9 см (они меньше радиуса), OK ≈ 2,2 см, OF ≈ 2,2 см (они больше радиуса). Предположение: точки, лежащие внутри круга, находятся от центра ближе, чем радиус; точки вне круга — дальше радиуса; точки на окружности — ровно на радиусе. б) Отрезок AE целиком лежит внутри круга и окружность не пересекает. Отрезок AB упирается в окружность в конце B: окружность он не пересекает, а лишь касается её в конечной точке. Отрезок FA соединяет точку вне круга с точкой внутри и пересекает окружность в одной точке. Предположение: отрезок, соединяющий две точки внутри круга, окружность не пересекает; отрезок, соединяющий точку внутри круга и точку вне круга, пересекает окружность. Оговорка: измерения приблизительные (по масштабу печатного рисунка).
5.5. Проведены две прямые, которые пересекают окружность с центром O и радиусом 2 см 5 мм в точках A, B, M и K. Найдите расстояние от центра окружности до этих точек.
Все четыре точки лежат на окружности, а расстояние от центра окружности до любой её точки равно радиусу. Поэтому OA = OB = OM = OK = 2 см 5 мм.
5.6. Проведите отрезок HP, длина которого равна 4 см. Постройте окружность с центром H и радиусом 2 см и окружность с центром P и радиусом 3 см. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами M и N. Сравните длины отрезков MH, HN, PM и NP.
Построение: циркулем с раствором 2 см проводим окружность с центром H, раствором 3 см — окружность с центром P; они пересекаются в двух точках M и N (так как 2 + 3 > 4). Точки M и N лежат на окружности с центром H радиуса 2 см, поэтому MH = HN = 2 см. Те же точки лежат на окружности с центром P радиуса 3 см, поэтому PM = NP = 3 см. Сравнение: MH = HN = 2 см < PM = NP = 3 см, то есть MH = HN, PM = NP, и MH < PM.
5.7. Проведите отрезок AC длиной 7 см. Найдите точки, которые находились бы на расстоянии 6 см от точки A и на расстоянии 5 см от точки C. Сколько таких точек?
Точки, удалённые от A на 6 см, лежат на окружности с центром A и радиусом 6 см; точки, удалённые от C на 5 см, — на окружности с центром C и радиусом 5 см. Искомые точки лежат на обеих окружностях. Строим обе окружности циркулем: они пересекаются в двух точках M и N (так как 6 + 5 = 11 > 7 и 6 – 5 = 1 < 7), симметричных относительно прямой AC. Ответ: таких точек две.
5.8. Развивай мышление и воображение. На какое наибольшее число частей можно разделить тремя разрезами (разрез делается от края до края по прямой): а) блин; б) торт?
а) Блин — плоский круг. Первый разрез даёт 2 части, второй (пересекающий первый) — 4, третий, пересекающий оба предыдущих в разных точках, — 7 частей. Ответ: 7 частей. б) Торт — пространственная фигура. Первый разрез делит его на 2 части, второй (перпендикулярно первому) — на 4, третий (горизонтальный, пересекающий оба) — на 8 частей. Ответ: 8 частей.
5.9. Приведите примеры предметов, имеющих форму: а) окружности; б) круга; в) цилиндра; г) шара.
а) Окружности: обруч, кольцо, браслет, ободок колеса, кольцо для салфетки. б) Круга: монета, диск, циферблат часов, блин, крышка банки, тарелка (вид сверху). в) Цилиндра: консервная банка, стакан, труба, бочка, батарейка, свеча. г) Шара: мяч, глобус, арбуз, апельсин, бусина, шарик подшипника.
5.10. Практическая работа. Оборудование: циркуль, линейка, карандаш, нелинованный лист бумаги формата А4 (2–3 листа), швейная или вязальная нить, ножницы. Порядок работы:
1. Начертите на нелинованной бумаге три окружности разных радиусов.
2. Проведите диаметр каждой окружности, измерьте его и запишите, чему он равен.
3. Аккуратно вырежьте по окружности каждый круг.
4. Положите один круг перед собой на парту и замерьте с помощью нити длину окружности. Найдите по линейке длину замеренной нити и запишите результат внутри круга.
5. Выполните аналогичные измерения и сделайте аналогичные записи для двух других кругов.
6. Вычислите приблизительно, во сколько раз длина каждой окружности больше её диаметра. Сделайте предположение об отношении длины окружности к её диаметру.
Выполнение: чертим три окружности, например с диаметрами 4 см, 6 см и 8 см, измеряем нитью длины окружностей. Образец результатов (у вас числа могут немного отличаться из-за погрешности измерений) — в таблице. Отношение длины окружности к диаметру получается около 3: 12,5 : 4 ≈ 3,1; 19 : 6 ≈ 3,2; 25 : 8 ≈ 3,1. Вывод (предположение): длина окружности примерно в 3 раза больше её диаметра, и это отношение для всех окружностей одно и то же (оно равно числу π ≈ 3,14). Оговорка: практическая работа — значения в таблице приведены как образец.
5.11. Найдите приблизительно длину окружности, если её диаметр равен: а) 3 дм; б) 2 см 5 мм.
Длина окружности приблизительно в 3 раза больше её диаметра. а) 3 · 3 = 9 (дм). б) 2 см 5 мм = 25 мм; 25 · 3 = 75 (мм) = 7 см 5 мм. Ответ: примерно 9 дм; примерно 7 см 5 мм. (Более точно, при отношении 3,14: 9,42 дм и 78,5 мм.)
5.12. Найдите приблизительно диаметр окружности, если её длина равна: а) 42 м; б) 7 км 500 м.
Диаметр приблизительно в 3 раза меньше длины окружности. а) 42 : 3 = 14 (м). б) 7 км 500 м = 7500 м; 7500 : 3 = 2500 (м) = 2 км 500 м. Ответ: примерно 14 м; примерно 2 км 500 м.
5.13. Прибор расхода топлива (рис. 5.8) показывает, сколько литров бензина в баке автомобиля. а) Найдите цену деления этого прибора. б) Какими будут показания прибора, если: 1) в бензобак дольют 15 л бензина; 2) израсходуют 25 л бензина?
а) Между отметками 20 и 40 стоят три малых штриха, то есть 4 деления: (40 – 20) : 4 = 5 (л). Цена деления 5 л. б) Сейчас стрелка стоит на 50 л. 1) 50 + 15 = 65 (л): стрелка покажет 65 л. 2) 50 – 25 = 25 (л): стрелка покажет 25 л. Оговорка: начальное показание 50 л прочитано по рисунку приблизительно.
5.14. Часы показывают 2 ч (см. рис. 5.6). Какое время покажут часы, если минутная стрелка передвинется: а) вперёд на 5 больших делений; б) вперёд на 15 малых делений; в) назад на 2 больших деления; г) назад на 35 малых делений?
На циферблате 60 малых делений (цена малого деления для минутной стрелки — 1 мин), а большое деление для минутной стрелки составляет 5 малых, то есть 5 мин. Сейчас 2 ч 00 мин. а) 5 · 5 = 25 (мин) вперёд: 2 ч 25 мин. б) 15 малых делений вперёд = 15 мин: 2 ч 15 мин. в) 2 · 5 = 10 (мин) назад: 1 ч 50 мин. г) 35 мин назад: 1 ч 25 мин.