§ 5. Обыкновенные дроби. 25. Окружность, круг, шар, цилиндр — с. 10
5.24. На уроке технологии мальчики выпиливали из фанеры разделочные доски. Сначала они с помощью компьютера рисовали по клеткам шаблон доски, например, такой, как показано на рисунке 5.10. а) Какую площадь имеет этот шаблон, если площадь клетки составляет 1 ед²? б) Какие наибольшие размеры в сантиметрах может иметь одна ячейка, чтобы разделочную доску можно было выпилить из фанеры прямоугольной формы длиной 50 см и шириной 24 см? в) Какую площадь будет иметь разделочная доска, если размер клетки будет 6 × 6 см?
а) По рисунку 5.10: ручка — полоса шириной в одну клетку и высотой около двух клеток (≈ 2 ед²); основная часть — прямоугольник 5 × 4 = 20 клеток; между ними срезанные («плечи») участки примерно в 6 клеток. Итого площадь шаблона приблизительно 28 ед². б) Доска занимает по рисунку 5 клеток в ширину и 8 клеток в высоту (от верха ручки до низа). Размеры доски 5a × 8a (a — сторона клетки). Укладываем доску вдоль листа 50 × 24 см: 8a ≤ 50 и 5a ≤ 24, откуда a ≤ 6,25 и a ≤ 4,8, значит наибольшая клетка 4,8 см (при этом доска 24 см × 38,4 см). Если доску не поворачивать (высота вдоль ширины листа 24 см), получится 8a ≤ 24, a ≤ 3 см. в) Клетка 6 × 6 см имеет площадь 36 см²: 28 · 36 = 1008 (см²), то есть около 1008 см² (≈ 10 дм²). Оговорка: число клеток площади в а) определено приблизительно по рисунку (криволинейные плечи), поэтому ответы а) и в) тоже приблизительные.
5.25. Масса банки с мёдом равна 1 кг 500 г. При этом мёд тяжелее пустой банки в 4 раза. Чему равна масса мёда?
Пусть масса пустой банки — одна часть, тогда мёд — 4 части, а вместе 1 + 4 = 5 частей. 1 кг 500 г = 1500 г. 1500 : 5 = 300 (г) — масса банки. 300 · 4 = 1200 (г) — масса мёда. Ответ: 1 кг 200 г.
5.26.
1. В пруду плавали утки. К ним прилетели 13 уток, а 16 уток улетели, и в пруду оказалось 19 уток. Сколько уток плавало в пруду?
2. В библиотеке с книжной полки взяли 16 книг, а поставили на неё 29. На полке стало 60 книг. Сколько книг было на полке первоначально?
1) Решаем с конца: стало 19; перед тем как 16 улетели, было 19 + 16 = 35; до прилёта 13 уток было 35 – 13 = 22. Проверка: 22 + 13 – 16 = 19. Ответ: 22 утки.
2. Стало 60; до того как поставили 29 книг, было 60 – 29 = 31; до того как взяли 16 книг, было 31 + 16 = 47. Проверка: 47 – 16 + 29 = 60. Ответ: 47 книг.
5.27. Вычислите: 1) 229 372 : 286 · 506; 2) 282 370 : 302 : 85; 3) 195 840 : (32 · 18); 4) 538 · (301 608 : 426).
1) 229 372 : 286 = 802; 802 · 506 = 405 812. 2) 282 370 : 302 = 935; 935 : 85 = 11. 3) 32 · 18 = 576; 195 840 : 576 = 340. 4) 301 608 : 426 = 708; 538 · 708 = 380 904. Ответы: 405 812; 11; 340; 380 904 (сходятся с ответами в конце учебника).
5.28. В чём достоинства и недостатки солнечных часов?
Что общего у них с современными часами?
Достоинства: не нужны батарейки и электричество, механизм прост и почти не ломается, часы очень долговечны (их используют около 3000 лет). Недостатки: работают только днём и только при ясном солнце (ночью и в пасмурную погоду бесполезны), показывают время не очень точно, зависят от времени года и широты места, их нельзя переносить с места на место без настройки. Общее с современными часами: есть циферблат с делениями (разметка по часам), есть «стрелка» (у солнечных часов — тень от стержня), по движению которой определяют время, сутки делятся на часы. Оговорка: вопрос на размышление, ответ приведён как возможный вариант.
5.29. Проведите окружность с центром O и радиусом 3 см. Отметьте точки: а) M и N, лежащие на окружности; б) P и Q, лежащие в круге; в) R и K, лежащие вне круга. Какие из отмеченных точек лежат вне окружности?
Какие из отмеченных точек лежат в круге?
Построение: циркулем (раствор 3 см) проводим окружность с центром O; точки M и N ставим на самой окружности, P и Q — внутри неё (ближе 3 см к O), R и K — снаружи (дальше 3 см от O). Вне окружности (то есть снаружи) лежат точки R и K. Не лежат на окружности точки P, Q, R, K. В круге лежат точки M, N (на границе круга), P и Q (внутри круга). Оговорка: положения точек выбраны для примера, на рисунке показан один из вариантов.
5.30. Отметьте точки C и D на расстоянии 4 см друг от друга. Используя циркуль, постройте ещё три точки M, N и K, находящиеся от точки C на расстоянии 4 см.
Все точки, находящиеся от C на расстоянии 4 см, лежат на окружности с центром C и радиусом 4 см. Точка D уже лежит на этой окружности (CD = 4 см). Ставим иглу циркуля в C, устанавливаем раствор 4 см, проводим окружность и отмечаем на ней любые три точки, отличные от D: M, N и K. Тогда CM = CN = CK = CD = 4 см. Оговорка: расположение M, N, K на окружности произвольное.
5.31. Отметьте точки F и A, находящиеся на расстоянии 9 см друг от друга. Проведите две окружности: радиусом 4 см с центром F и радиусом 7 см с центром A. Пересекаются ли эти окружности?
Строим FA = 9 см, затем окружность с центром F радиусом 4 см и окружность с центром A радиусом 7 см. Окружности пересекаются, потому что сумма радиусов 4 + 7 = 11 см больше расстояния между центрами 9 см, а разность радиусов 7 – 4 = 3 см меньше 9 см. Точек пересечения две, они симметричны относительно прямой FA. Ответ: да, пересекаются (в двух точках).
5.32. Отметьте точки M и K так, чтобы MK = 9 см. Проведите две окружности: радиусом 4 см с центром M и радиусом 3 см с центром K. Пересекаются ли эти окружности?
Строим MK = 9 см, окружность с центром M радиусом 4 см и окружность с центром K радиусом 3 см. Окружность с центром M доходит от M не дальше чем на 4 см, окружность с центром K — не дальше чем на 3 см от K, вместе 4 + 3 = 7 см, а расстояние между центрами 9 см > 7 см. Между окружностями остаётся промежуток 9 – 7 = 2 см. Ответ: нет, не пересекаются (общих точек нет).