§ 5. Обыкновенные дроби. 25. Окружность, круг, шар, цилиндр — с. 11
5.33. а) Найдите приблизительно длину окружности, радиус которой равен 12 см. б) Найдите приблизительно радиус окружности, длина которой равна 84 дм.
Длина окружности примерно в 3 раза больше диаметра, а диаметр вдвое больше радиуса. а) d = 12 · 2 = 24 (см); 24 · 3 = 72 (см). Ответ: примерно 72 см (точнее ≈ 75,4 см). б) d = 84 : 3 = 28 (дм); r = 28 : 2 = 14 (дм). Ответ: примерно 14 дм.
5.34. Решите уравнение: а) (x – 111) · 59 = 11 918; б) 975 · (y – 615) = 12 675; в) (30 901 – a) : 605 = 51; г) 39 765 : (b – 893) = 1205.
а) Неизвестный множитель: x – 111 = 11 918 : 59 = 202; x = 202 + 111 = 313. Проверка: (313 – 111) · 59 = 202 · 59 = 11 918. б) y – 615 = 12 675 : 975 = 13; y = 13 + 615 = 628. в) Неизвестное делимое: 30 901 – a = 51 · 605 = 30 855; a = 30 901 – 30 855 = 46. г) Неизвестный делитель: b – 893 = 39 765 : 1205 = 33; b = 33 + 893 = 926. Ответы: 313; 628; 46; 926.
5.35. При делении с остатком числа 222 на некоторое число получилось неполное частное 9. Найдите все такие делители этого числа и полученные при делении на них остатки.
Пусть делитель b, остаток r: 222 = 9b + r, причём 0 ≤ r < b. Тогда 9b ≤ 222, то есть b ≤ 24 (9 · 24 = 216; 9 · 25 = 225 > 222). И остаток меньше делителя: 222 – 9b < b, откуда 10b > 222, b > 22,2, то есть b ≥ 23. Подходят b = 23 и b = 24. При b = 23: 222 = 23 · 9 + 15 (остаток 15). При b = 24: 222 = 24 · 9 + 6 (остаток 6). Ответ: делитель 23, остаток 15; делитель 24, остаток 6.
5.36. На рисунке 5.12 изображены фигуры, составленные из кубиков. Найдите объёмы фигур, если объём каждого кубика 1 мм³.
Объём фигуры равен числу кубиков (каждый — 1 мм³): находим количество кубиков как произведение трёх измерений — длины, ширины и высоты в кубиках. а) 2 · 2 · 6 = 24, объём 24 мм³. б) Пластина толщиной в 1 кубик: 1 · 10 · 10 = 100, объём 100 мм³. в) Куб: 10 · 10 · 10 = 1000, объём 1000 мм³ (1 см³). г) 7 · 10 · 10 = 700, объём 700 мм³. Оговорка: рисунок мелкий, число кубиков в измерениях (особенно в а и г) прочитано приблизительно.
5.37. Найдите массу бензина полного бака автомобиля, если масса 1 л бензина 750 г, а в бензобак входит 85 л.
750 · 85 = 63 750 (г) = 63 кг 750 г. Ответ: 63 кг 750 г.
5.38. Делитель b равен 93, неполное частное q равно 446 и остаток r равен 2. Найдите делимое a.
Делимое a = b · q + r = 93 · 446 + 2 = 41 478 + 2 = 41 480. Проверка: 41 480 : 93 = 446 (ост. 2). Ответ: 41 480.
5.39. Выполните действия: а) 7055 · 60 + 49 610 : 82 · 104; б) (2 175 289 + 865 439) : 536 – 2429; в) (14³ + 7³) : (14 – 7); г) (9³ – 6³)².
а) 7055 · 60 = 423 300; 49 610 : 82 = 605; 605 · 104 = 62 920; 423 300 + 62 920 = 486 220. б) 2 175 289 + 865 439 = 3 040 728; 3 040 728 : 536 = 5673; 5673 – 2429 = 3244. в) 14³ = 2744, 7³ = 343; 2744 + 343 = 3087; 14 – 7 = 7; 3087 : 7 = 441. г) 9³ = 729, 6³ = 216; 729 – 216 = 513; 513² = 263 169. Ответы: 486 220; 3244; 441; 263 169 (совпадают с ответами в учебнике).
Проверочная работа.
1. Заполните таблицу. Диаметр, см: __, 82, 196, __. Радиус, см: 13, __, __, 285.
Диаметр вдвое больше радиуса: d = 2r, r = d :
2. Для r = 13 см: d = 13 · 2 = 26 (см). Для d = 82 см: r = 82 : 2 = 41 (см). Для d = 196 см: r = 196 : 2 = 98 (см). Для r = 285 см: d = 285 · 2 = 570 (см). Ответ: см. таблицу.
Проверочная работа.
2. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом 4 см. а) Отметьте точки A, B и C, лежащие на окружности. б) Отметьте точки R и T, не лежащие на окружности. в) Отметьте точку N на расстоянии 5 см от центра окружности и точку K на расстоянии 3 см от центра окружности. Какая из отмеченных точек лежит вне круга, а какая — внутри круга, ограниченного окружностью? г)* Может ли расстояние между точкой O и точкой, не лежащей на окружности, быть меньше радиуса окружности; больше радиуса окружности; равно радиусу окружности?
Построение — на рисунке (раствор циркуля 4 см). а) A, B, C лежат на окружности (расстояние до O равно 4 см). б) R и T выбраны не на окружности (например, дальше 4 см от O). в) N находится на расстоянии 5 см > 4 см от O, поэтому лежит вне круга. K — на расстоянии 3 см < 4 см, поэтому лежит внутри круга. г) Расстояние от O до точки, не лежащей на окружности, может быть меньше радиуса (точка внутри круга) и больше радиуса (точка вне круга). Равным радиусу оно быть не может: тогда точка лежала бы на окружности.
Проверочная работа.
3. Изобразите точки O и P, расстояние между которыми 3 см. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом 3 см 2 мм и окружность с центром в точке P и радиусом 2 см 8 мм. Сколько точек пересечения имеют построенные окружности?
Строим OP = 3 см, затем циркулем окружность с центром O радиусом 3 см 2 мм и окружность с центром P радиусом 2 см 8 мм. Окружности пересекаются, так как расстояние между центрами 3 см меньше суммы радиусов 3,2 + 2,8 = 6 см и больше разности радиусов 3,2 – 2,8 = 0,4 см. Ответ: две точки пересечения.