§ 5. Обыкновенные дроби. 40. Нахождение целого по его части (продолжение) — с. 88
5.553. Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала 2/9 всего участка пути, во второй день — 4/7 оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?
После первого дня осталось 1 – 2/9 = 7/9 пути. Во второй день отремонтировали 4/7 от оставшегося: 7/9 · 4/7 = 4/9 всего пути. За два дня: 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3. На третий день осталось 1 – 2/3 = 1/3 пути, и это 6 км. Весь участок: 6 : 1/3 = 18 (км). За три дня отремонтировали весь участок — 18 км. Ответ: 18 км.
5.554. Мотоциклист в первый час проехал 6/21 всего пути, во второй час — 7/12 оставшегося пути, а в третий час — остальной путь, причём во второй час он проехал на 40 км больше, чем в третий. Найдите расстояние, которое проехал мотоциклист за эти три часа.
В первый час: 6/21 = 2/7 пути; осталось 5/7. Во второй час: 5/7 · 7/12 = 5/12 всего пути. В третий час: 5/7 – 5/12 = 60/84 – 35/84 = 25/84 пути. Разность второго и третьего часов: 5/12 – 25/84 = 35/84 – 25/84 = 10/84 = 5/42 пути, и это 40 км. Весь путь: 40 : 5/42 = 40 · 42/5 = 336 (км). Ответ: 336 км.
5.555. Вычислите. а) 270 – 214, :28, ·37, +26; б) 100 : 25, ·15, :12, ·180; в) 60 – 12, :8, ·10, :5; г) 140 – 63, :7, +4, ·4.
а) 270 – 214 = 56; 56 : 28 = 2; 2 · 37 = 74; 74 + 26 = 100. б) 100 : 25 = 4; 4 · 15 = 60; 60 : 12 = 5; 5 · 180 = 900. в) 60 – 12 = 48; 48 : 8 = 6; 6 · 10 = 60; 60 : 5 = 12. г) 140 – 63 = 77; 77 : 7 = 11; 11 + 4 = 15; 15 · 4 = 60. Ответ: 100; 900; 12; 60.
5.556. Не выполняя деления, сравните: а) 7 и 7 : 2/9; б) 8 : 5/8 и 8; в) 10/13 и 10/13 : 6/23; г) 1 1/9 : 4/9 и 1 1/9.
Деление на правильную дробь (меньше 1) увеличивает число, потому что делить на дробь — то же, что умножать на обратное число, которое больше 1. Во всех случаях делитель — правильная дробь. а) 7 < 7 : 2/9. б) 8 : 5/8 > 8. в) 10/13 < 10/13 : 6/23. г) 1 1/9 : 4/9 > 1 1/9.
5.557. Найдите закономерность размещения чисел в полукругах. Назовите недостающие числа (рис. 5.66).
Правый полукруг (по часовой стрелке от верха): 1, 8, 27, ?, 125, 216 — это кубы натуральных чисел 1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³. Недостающее число 4³ = 64. Левый полукруг (снизу вверх): 0, 4, 10, 18, ?, 40 — разности соседних чисел 4, 6, 8, …, то есть каждый раз растут на 2: 18 + 10 = 28, а 28 + 12 = 40 (верно). Недостающее число 28. Ответ: 64 и 28. Оговорка: расположение чисел определено по рисунку.
5.558. Найдите частное: а) 7/9 : 7/18; б) 1/4 : 1/3; в) 3/4 : 7/9; г) 3/7 : 1/14; д) 6/11 : 6; е) 9/13 : 3; ж) 5/7 : 1/7; з) 15/22 : 5.
а) 7/9 · 18/7 = 2. б) 1/4 · 3 = 3/4. в) 3/4 · 9/7 = 27/28. г) 3/7 · 14 = 6. д) 6/11 : 6 = 1/11. е) 9/13 : 3 = 3/13. ж) 5/7 · 7 = 5. з) 15/22 : 5 = 3/22.
5.559. Сократите: 1) 390/650; 2) 4550/5550; 3) 570/13310; 4) 4200/4550.
1) 390/650 = 39/65 = 3/5 (на 130). 2) 4550/5550 = 455/555 = 91/111 (на 50). 3) 570/13310 = 57/1331 (на 10). 4) 4200/4550 = 420/455 = 12/13 (на 350).
5.560. Вычислите: 1) 1/4 : 1/4 · 2/7; 2) 1/3 · 7/8 : 9/14; 3) 1/3 · 7/8 : 9/14; 4) 6/7 : 5/7 · 4/9.
Действия выполняем слева направо. 1) 1/4 : 1/4 = 1; 1 · 2/7 = 2/7. 2) 1/3 · 7/8 = 7/24; 7/24 : 9/14 = 7/24 · 14/9 = 98/216 = 49/108.
3. То же, что в 2) (знаки в условии напечатаны одинаково): 49/108. 4) 6/7 : 5/7 = 6/5; 6/5 · 4/9 = 24/45 = 8/15. Ответ: 2/7; 49/108; 49/108; 8/15. Оговорка: выражения 2) и 3) на скане выглядят одинаково; если в 3) оба знака «:» (1/3 : 7/8 : 9/14), то ответ 16/27.
5.561. Найдите значение выражения: 1) 3 141 306 – 141 141 · (5221 + 7084 – 9999) : 141; 2) 2 029 201 – 1 029 190 : (59 030 – 49 070 + 230) · 101.
1) 5221 + 7084 – 9999 = 2306; 141 141 · 2306 : 141 = 1001 · 2306 = 2 308 306; 3 141 306 – 2 308 306 = 833 000. 2) 59 030 – 49 070 + 230 = 10 190; 1 029 190 : 10 190 = 101; 101 · 101 = 10 201; 2 029 201 – 10 201 = 2 019 000. Ответ: 833 000; 2 019 000.
5.562. Девочка прошла на лыжах 300 м, что составило 3/8 всей дистанции. Чему равна длина дистанции?
Вся дистанция: 300 : 3/8 = 300 · 8/3 = 800 (м). Ответ: 800 м.
5.563. На уроке литературы на дом было задано чтение повести В. Короленко «Дети подземелья». Эта повесть настолько интересна и трогательна, что не может оставить кого-либо равнодушным. Лёня прочитал в первый же день 39 страниц, что составило 3/5 всей повести. Сколько страниц в повести?
Вся повесть: 39 : 3/5 = 39 · 5/3 = 65 (страниц). Ответ: 65 страниц.
5.564. На новом комбайне убрали зерно с поля за 56 ч и затратили времени на 3/10 меньше, чем на старом комбайне. Сколько времени потребовалось бы для выполнения этой работы на старом комбайне?
На новом комбайне затрачено 1 – 3/10 = 7/10 времени старого. Время на старом комбайне: 56 : 7/10 = 56 · 10/7 = 80 (ч). Ответ: 80 ч.