§ 5. Обыкновенные дроби. 37. Умножение дробей (продолжение) — с. 77
5.474. Длина классной комнаты 12 м, ширина — 10 м и высота — 4 м. Найдите массу воздуха в этой комнате, если масса 1 дм³ воздуха равна 13/10 г.
Объём комнаты: 12 · 10 · 4 = 480 (м³). В 1 м³ 1000 дм³, значит 480 м³ = 480 000 дм³. Масса воздуха: 480 000 · 13/10 = 48 000 · 13 = 624 000 (г) = 624 кг. Ответ: 624 кг.
5.475. Тело человека содержит в среднем 5 дм³ крови. В 1 мм³ крови около 5 млн красных кровяных телец (эритроцитов), каждый диаметром 3/400 мм. Какой длины был бы ряд эритроцитов, если бы все эритроциты уложили один за другим?
1 дм³ = 1 000 000 мм³, поэтому 5 дм³ = 5 000 000 мм³. Число эритроцитов: 5 000 000 · 5 000 000 = 25 000 000 000 000. Длина ряда: 25 000 000 000 000 · 3/400 мм = 25 000 000 000 000 : 400 · 3 = 62 500 000 000 · 3 = 187 500 000 000 (мм) = 187 500 000 м = 187 500 км. Ответ: 187 500 км.
5.476. Проверьте равенства: 1/3 · 1/5 = 1/2 · (1/3 – 1/5), 1/5 · 1/7 = 1/2 · (1/5 – 1/7), 1/7 · 1/9 = 1/2 · (1/7 – 1/9) и т. д. Используя эти равенства, докажите: 1/3 · 1/5 + 1/5 · 1/7 + 1/7 · 1/9 + 1/9 · 1/11 + 1/11 · 1/13 + 1/13 · 1/15 = 2/15.
Проверка: 1/3 · 1/5 = 1/15, а 1/2 · (1/3 – 1/5) = 1/2 · 2/15 = 1/15. 1/5 · 1/7 = 1/35, а 1/2 · (1/5 – 1/7) = 1/2 · 2/35 = 1/35. 1/7 · 1/9 = 1/63, а 1/2 · (1/7 – 1/9) = 1/2 · 2/63 = 1/63. Равенства верны. Доказательство: заменим каждое произведение разностью: сумма равна 1/2 · [(1/3 – 1/5) + (1/5 – 1/7) + (1/7 – 1/9) + (1/9 – 1/11) + (1/11 – 1/13) + (1/13 – 1/15)]. В скобках все дроби, кроме первой и последней, сокращаются, остаётся 1/3 – 1/15 = 5/15 – 1/15 = 4/15. Тогда сумма равна 1/2 · 4/15 = 2/15. Что и требовалось доказать.
5.477. Вычислите. а) 200 – 74, :7, +52, :7; б) 60 · 3, +120, :75, ·12; в) 56 : 8, ·3, +56, :11; г) 720 : 8, +15, :5, ·3.
а) 200 – 74 = 126; 126 : 7 = 18; 18 + 52 = 70; 70 : 7 = 10. б) 60 · 3 = 180; 180 + 120 = 300; 300 : 75 = 4; 4 · 12 = 48. в) 56 : 8 = 7; 7 · 3 = 21; 21 + 56 = 77; 77 : 11 = 7. г) 720 : 8 = 90; 90 + 15 = 105; 105 : 5 = 21; 21 · 3 = 63. Ответ: 10; 48; 7; 63.
5.478. Сумму данных дробей сложите с их разностью: а) 3/7 и 1/14; б) 1/9 и 1/12. Как быстрее и проще получить ответ?
а) Сумма: 3/7 + 1/14 = 6/14 + 1/14 = 7/14 = 1/2. Разность: 3/7 – 1/14 = 5/14. Сумма плюс разность: 7/14 + 5/14 = 12/14 = 6/7. б) Сумма: 1/9 + 1/12 = 4/36 + 3/36 = 7/36. Разность: 1/9 – 1/12 = 1/36. Сумма плюс разность: 7/36 + 1/36 = 8/36 = 2/9. Быстрее всего: (a + b) + (a – b) = 2a, то есть результат равен удвоенной большей дроби: а) 3/7 · 2 = 6/7; б) 1/9 · 2 = 2/9.
5.479. Представьте дробь 3/4 в виде: а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20; б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.
Можно взять, например: а) со знаменателем 4: 3/4 = 4/4 – 1/4; со знаменателем 16: 3/4 = 12/16 = 15/16 – 3/16; со знаменателем 20: 3/4 = 15/20 = 19/20 – 4/20. б) со знаменателем 4: 3/4 = 1/4 + 2/4; со знаменателем 12: 3/4 = 9/12 = 4/12 + 5/12; со знаменателем 28: 3/4 = 21/28 = 10/28 + 11/28. Оговорка: ответов много, указаны примеры; знаменатели прочитаны как три отдельных случая.
5.480. Отметьте, где расположены на координатной прямой, изображённой на рисунке 5.62, точки A(2/5), B(1/5), C(1), D(k + 2/5), M(k – 1/5).
Единичный отрезок 0–(4/5) состоит из 4 пятых долей; одна пятая — 1/4 этого отрезка. B(1/5) — на 1/4 отрезка от нуля до 4/5; A(2/5) — на середине этого отрезка. C(1) — правее 4/5 на одну пятую (на 1/4 отрезка 0–(4/5)); по рисунку C лежит левее k. M(k – 1/5) — левее k на одну пятую. D(k + 2/5) — правее k на две пятых. Оговорка: положение k определено по рисунку (примерно 8/5); на чертёже принято k = 8/5, тогда M = 7/5, D = 2.
5.481. Вычислите: а) 4/5 + 1/9 + 2/3; б) 7/9 – 3/5 + 1/3; в) 2/15 + (7/15 – 1/5).
а) Общий знаменатель 45: 36/45 + 5/45 + 30/45 = 71/45 = 1 26/45. б) 35/45 – 27/45 + 15/45 = 23/45. в) 7/15 – 1/5 = 7/15 – 3/15 = 4/15; 2/15 + 4/15 = 6/15 = 2/5.
5.482. Найдите значение выражения: а) 4 + (7/8 + 3/16); б) (2/3 + 7/8) – (11/24 – 5/12); в) 13/12 – 12/13 – 25/156.
а) 7/8 + 3/16 = 14/16 + 3/16 = 17/16 = 1 1/16; 4 + 1 1/16 = 5 1/16. б) 2/3 + 7/8 = 16/24 + 21/24 = 37/24; 11/24 – 5/12 = 11/24 – 10/24 = 1/24; 37/24 – 1/24 = 36/24 = 3/2 = 1 1/2. в) Общий знаменатель 156: 13/12 = 169/156; 12/13 = 144/156; (169 – 144 – 25)/156 = 0/156 = 0.
5.483. В пекарне было 2/3 т муки. Сколько тонн муки стало в пекарне после того, как на выпечку хлеба израсходовали 1/2 т, а затем привезли 5/6 т муки?
2/3 – 1/2 + 5/6 = 4/6 – 3/6 + 5/6 = 6/6 = 1 (т). Ответ: 1 т.