§ 5. Обыкновенные дроби. 36. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (продолжение) — с. 71
5.435. Проверьте, что числа 220 и 284 являются дружественными числами.
Дружественные числа — два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого (не считая самого числа). Делители 220 (кроме 220): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110; их сумма 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Делители 284 (кроме 284): 1, 2, 4, 71, 142; их сумма 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Каждое число равно сумме делителей другого, значит 220 и 284 — дружественные числа.
5.436. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: а) 3/7 и 5/14; б) 3/18 и 7/12.
а) Наименьший общий знаменатель 14: 3/7 = 6/14; 5/14. б) НОК(18, 12) = 36: 3/18 = 6/36; 7/12 = 21/36.
5.437. Сократите и приведите к общему знаменателю дроби: а) 40/60, 22/99, 66/88; б) 21/56, 10/96, 200/240.
а) 40/60 = 2/3; 22/99 = 2/9; 66/88 = 3/4. Общий знаменатель 36: 2/3 = 24/36; 2/9 = 8/36; 3/4 = 27/36. б) 21/56 = 3/8; 10/96 = 5/48; 200/240 = 5/6. Общий знаменатель 48: 3/8 = 18/48; 5/48; 5/6 = 40/48.
5.438. Запишите: а) числа 4 7/7, 10 24/6, 15 77/7 так, чтобы у них не было дробной части; б) числа 4 5/4, 19 17/6, 7 21/5 так, чтобы их дробная часть была правильной дробью.
а) Дробные части — неправильные дроби, равные целым числам: 4 7/7 = 4 + 1 = 5; 10 24/6 = 10 + 4 = 14; 15 77/7 = 15 + 11 = 26. б) Выделим целые части из неправильных дробей: 4 5/4 = 4 + 1 1/4 = 5 1/4; 19 17/6 = 19 + 2 5/6 = 21 5/6; 7 21/5 = 7 + 4 1/5 = 11 1/5.
5.439. Уменьшив числа 5 4/5, 7 1/9, 9 9/19 на три, запишите результаты в виде неправильной дроби.
5 4/5 – 3 = 2 4/5 = (2 · 5 + 4)/5 = 14/5. 7 1/9 – 3 = 4 1/9 = (4 · 9 + 1)/9 = 37/9. 9 9/19 – 3 = 6 9/19 = (6 · 19 + 9)/19 = 123/19.
5.440. Сколько вариантов расписания на день можно составить для класса, если всего должно быть пять уроков: русский язык, английский язык, математика, литература и физкультура?
Первым уроком можно поставить любой из 5 предметов, вторым — любой из оставшихся 4, третьим — из 3, четвёртым — из 2, пятым — последний: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Ответ: 120 вариантов.
5.441.
1. От пристани отправился теплоход со скоростью 25 км/ч, а через 1 ч отплыл речной скутер со скоростью 40 км/ч. Через какое время скутер будет впереди теплохода на 20 км?
2. Из лагеря вышел турист со скоростью 4 км/ч, а через 1 ч отправился велосипедист со скоростью 13 км/ч. Через какое время велосипедист обгонит туриста на 14 км?
1) К моменту отплытия скутера теплоход уже прошёл 25 км. Скорость сближения: 40 – 25 = 15 (км/ч). Чтобы скутер оказался впереди на 20 км, он должен сначала сократить отрыв 25 км, а потом уйти вперёд на 20 км, то есть «выиграть» 25 + 20 = 45 км: 45 : 15 = 3 (ч). Ответ: через 3 ч.
2. К моменту выхода велосипедиста турист прошёл 4 км. Скорость сближения: 13 – 4 = 9 (км/ч). Надо выиграть 4 + 14 = 18 км: 18 : 9 = 2 (ч). Ответ: через 2 ч.
5.442.
1. Для передачи посылки на теплоход, который уже отошёл от пристани на 30 км, отправился речной скутер со скоростью 35 км/ч. Скутер догнал теплоход через 2 ч. Найдите скорость теплохода.
2. Для передачи забытых вещей туристу, удалившемуся на тот момент от лагеря на 27 км, выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Велосипедист догнал туриста через 3 ч. Найдите скорость туриста.
1) Скутер сокращал отрыв 30 км за 2 ч, скорость сближения 30 : 2 = 15 (км/ч). Скорость теплохода: 35 – 15 = 20 (км/ч). Ответ: 20 км/ч.
2. Скорость сближения: 27 : 3 = 9 (км/ч). Скорость туриста: 15 – 9 = 6 (км/ч). Ответ: 6 км/ч.
5.443. Вычислите:
1. (17 695 + 3599 : 59 – 345 · 28) : 352;
2. (64 · 825 – 38 979 + 3551 : 53) : 448.
1) 3599 : 59 = 61; 345 · 28 = 9660; 17 695 + 61 = 17 756; 17 756 – 9660 = 8096; 8096 : 352 = 23. 2) 64 · 825 = 52 800; 3551 : 53 = 67; 52 800 – 38 979 = 13 821; 13 821 + 67 = 13 888; 13 888 : 448 = 31. Ответ: 1) 23; 2) 31.
5.444. Сравните дроби: а) 1/5 и 3/25; б) 3/4 и 11/12; в) 3/4 и 13/20; г) 4/9 и 16/36; д) 3/8 и 7/12; е) 7/12 и 7/16.
а) 1/5 = 5/25 > 3/25, значит 1/5 > 3/25. б) 3/4 = 9/12 < 11/12, значит 3/4 < 11/12. в) 3/4 = 15/20 > 13/20, значит 3/4 > 13/20. г) 16/36 = 4/9 (сократили на 4), значит 4/9 = 16/36. д) Общий знаменатель 24: 3/8 = 9/24; 7/12 = 14/24; 9/24 < 14/24, значит 3/8 < 7/12. е) У дробей одинаковые числители, а знаменатель 12 меньше 16, поэтому 7/12 > 7/16.
5.445. Вычислите: а) 1/2 + 1/3; б) 1/3 + 2/7; в) 2/5 + 1/3; г) 3/7 + 4/9; д) 5/9 – 1/6; е) 3/4 – 1/3; ж) 1/6 + 1/3; з) 9/5 – 7/10; и) 1/2 – 3/8; к) 7/15 – 3/10; л) 3/8 + 5/12; м) 5/9 – 1/6; н) 5/11 + 3/5; о) 17/30 – 3/6; п) 17/35 – 4/15.
а) 3/6 + 2/6 = 5/6. б) 7/21 + 6/21 = 13/21. в) 6/15 + 5/15 = 11/15. г) 27/63 + 28/63 = 55/63. д) 10/18 – 3/18 = 7/18. е) 9/12 – 4/12 = 5/12. ж) 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. з) 18/10 – 7/10 = 11/10 = 1 1/10. и) 4/8 – 3/8 = 1/8. к) 14/30 – 9/30 = 5/30 = 1/6. л) 9/24 + 10/24 = 19/24. м) 10/18 – 3/18 = 7/18. н) 25/55 + 33/55 = 58/55 = 1 3/55. о) 17/30 – 15/30 = 2/30 = 1/15. п) 51/105 – 28/105 = 23/105.
5.446. Маша может собрать клубнику за 6 ч, а Миша — за 7 ч. Какую часть клубники они могут собрать вместе за 1 ч?
Маша за 1 ч собирает 1/6 клубники, Миша — 1/7. Вместе: 1/6 + 1/7 = 7/42 + 6/42 = 13/42. Ответ: 13/42.
5.447. Один генератор израсходует бак бензина за 18 ч непрерывной работы, а другой — за 15 ч. Какой генератор израсходует меньше бензина: первый за 5 ч или второй за 4 ч?
Первый за 5 ч израсходует 5/18 бака, второй за 4 ч — 4/15 бака. Общий знаменатель 90: 5/18 = 25/90; 4/15 = 24/90. Так как 24/90 < 25/90, меньше бензина израсходует второй генератор (за 4 ч).