§ 5. Обыкновенные дроби. 36. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (продолжение) — с. 67
5.397. Расположите дроби в порядке убывания: а) 7/8, 3/4, 3/5, 17/40; б) 11/12, 5/24, 5/6, 2/3.
а) Общий знаменатель 40: 7/8 = 35/40; 3/4 = 30/40; 3/5 = 24/40; 17/40. Так как 35 > 30 > 24 > 17: 7/8 > 3/4 > 3/5 > 17/40. б) Общий знаменатель 24: 11/12 = 22/24; 5/24; 5/6 = 20/24; 2/3 = 16/24. Так как 22 > 20 > 16 > 5: 11/12 > 5/6 > 2/3 > 5/24.
5.398. Докажите неравенство: а) 133/900 > 1/9; б) 289/45 000 < 1/15; в) 73/1080 > 15/540.
а) 1/9 = 100/900 (умножили на 100), а 133/900 > 100/900, так как 133 > 100. б) 1/15 = 3000/45 000 (умножили на 3000), а 289/45 000 < 3000/45 000, так как 289 < 3000. в) 15/540 = 30/1080 (умножили на 2), а 73/1080 > 30/1080, так как 73 > 30.
5.399. а) Объясните, почему 1/7 > 1/9, 2/7 > 2/9, 5/7 > 5/9, не приводя дроби к общему знаменателю. б) Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. в) Используя это правило, сравните: 4/7 и 4/13; 9/16 и 9/10; 21/33 и 21/31.
а) В каждой паре одинаковое число долей (по 1, по 2, по 5), но седьмая часть целого больше девятой: при делении на 7 частей каждая часть крупнее, чем при делении на 9. Поэтому и дробь с седьмыми долями больше. б) Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. в) 4/7 > 4/13 (7 < 13). 9/16 < 9/10 (16 > 10). 21/33 < 21/31 (33 > 31).
5.400. Запишите все правильные дроби с числителем 3, большие 3/11.
Дробь 3/n правильная, если n > 3, и больше 3/11, если n < 11 (при одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем). Значит, n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ответ: 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, 3/8, 3/9, 3/10.
5.401. Сравните промежутки времени двумя способами: 1) выразив их в секундах; 2) приведя дроби к общему знаменателю: а) 5/6 мин и 11/12 мин; б) 7/12 мин и 2/3 мин; в) 7/10 мин и 9/20 мин; г) 4/5 мин и 3/4 мин.
а) 1) 5/6 мин = 50 с; 11/12 мин = 55 с; 50 < 55. 2) 5/6 = 10/12 < 11/12. Значит, 5/6 мин < 11/12 мин. б) 1) 7/12 мин = 35 с; 2/3 мин = 40 с; 35 < 40. 2) 2/3 = 8/12; 7/12 < 8/12. Значит, 7/12 мин < 2/3 мин. в) 1) 7/10 мин = 42 с; 9/20 мин = 27 с; 42 > 27. 2) 7/10 = 14/20 > 9/20. Значит, 7/10 мин > 9/20 мин. г) 1) 4/5 мин = 48 с; 3/4 мин = 45 с; 48 > 45. 2) 4/5 = 16/20; 3/4 = 15/20; 16/20 > 15/20. Значит, 4/5 мин > 3/4 мин.
5.402. Отметьте на координатной прямой все дроби со знаменателем 7, меньшие 8/7 и большие 1/7.
Дроби со знаменателем 7, большие 1/7 и меньшие 8/7, имеют числители больше 1 и меньше 8: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Это дроби 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 и 7/7 (последняя равна 1). Единичный отрезок делим на 7 равных частей и отмечаем эти точки (в ответе отмечены красным).
5.403. В лесопитомнике 9/20 всех деревьев занимают саженцы ели, а 7/15 всех деревьев — саженцы сосны. Каких саженцев в лесопитомнике больше: ели или сосны?
Общий знаменатель 60: 9/20 = 27/60; 7/15 = 28/60. Так как 27/60 < 28/60, саженцев сосны больше.
5.404. Папа за 30 шагов проходит 24 м, а сын за 20 шагов — 14 м. Чей шаг длиннее?
Шаг папы: 24/30 = 4/5 м = 8/10 м (0,8 м). Шаг сына: 14/20 = 7/10 м (0,7 м). Так как 8/10 > 7/10, шаг папы длиннее.
5.405. Найдите, какая труба подаёт в бассейн больше воды: широкая за 2 ч или узкая за 3 ч, если узкая труба наполняет бассейн за 11 ч, а широкая — за 9 ч.
Широкая труба за 2 ч подаёт 2/9 бассейна. Узкая труба за 3 ч подаёт 3/11 бассейна. Общий знаменатель 99: 2/9 = 22/99; 3/11 = 27/99. Так как 27/99 > 22/99, узкая труба за 3 ч подаёт больше воды.
5.406. Для оформления национального костюма двухметровую синюю ленту разрезали на 7 равных частей, а трёхметровую красную ленту — на 8. Части какой ленты длиннее?
Часть синей ленты: 2/7 м. Часть красной: 3/8 м. Общий знаменатель 56: 2/7 = 16/56; 3/8 = 21/56. Так как 21/56 > 16/56, части красной ленты длиннее.
5.407. Три брата — Андрей, Матвей и Тимофей — вскапывали три одинаковые грядки. За одно и то же время один вскопал 2/3 грядки, другой — 5/9 грядки, а третий — 3/5 грядки. Какую часть грядки осталось вскопать каждому, если известно, что Андрей вскопал больше Тимофея, а Матвей — больше Андрея?
Общий знаменатель 45: 2/3 = 30/45; 5/9 = 25/45; 3/5 = 27/45. По величине: 30/45 > 27/45 > 25/45, то есть 2/3 > 3/5 > 5/9. По условию Матвей > Андрей > Тимофей, значит Матвей вскопал 2/3, Андрей — 3/5, Тимофей — 5/9. Осталось вскопать: Матвею 1 – 2/3 = 1/3 грядки; Андрею 1 – 3/5 = 2/5 грядки; Тимофею 1 – 5/9 = 4/9 грядки.
5.408. Выполните построения по алгоритму:
1. Приняв за единичный отрезок 24 клетки, начертите координатную прямую.
2. Отметьте точку M(1/4), отложите влево от неё отрезок MK, равный 5/24 единичного отрезка, и найдите координату точки K.
3. Отложите от точки K вправо отрезок KP, равный 9/24 единичного отрезка, и найдите координату точки P. Как можно по-другому найти координаты точек K и P?
1) Единичный отрезок — 24 клетки, 1/24 равна одной клетке.
2. M(1/4): 1/4 = 6/24, то есть M лежит на расстоянии 6 клеток от нуля. Влево от M откладываем 5 клеток: точка K на расстоянии 1 клетки от нуля. Координата K: 1/4 – 5/24 = 6/24 – 5/24 = 1/24.
3. Вправо от K откладываем 9 клеток: точка P на расстоянии 1 + 9 = 10 клеток от нуля. Координата P: 1/24 + 9/24 = 10/24 = 5/12. Иначе координаты можно найти подсчётом клеток: K — на 1-й клетке, значит 1/24; P — на 10-й клетке, значит 10/24 = 5/12.