§ 5. Обыкновенные дроби. 35. Приведение дробей к общему знаменателю (продолжение) — с. 64
5.381. Космический корабль «Вега-1» приближался к комете Галлея для её исследования. На каком расстоянии они находились за полчаса до предполагаемой встречи, если скорость корабля составляет 34 км/с, а скорость кометы — 46 км/с?
Полчаса — это 30 · 60 = 1800 с. Корабль и комета сближаются (движутся навстречу друг другу), скорость сближения 34 + 46 = 80 (км/с). Расстояние: 80 · 1800 = 144 000 (км). Ответ: 144 000 км.
5.382. Плот оторвался от берега, и его унесло за 12 мин на 600 м. В этот момент вслед за ним отправилась моторная лодка. На каком расстоянии от места стоянки лодка догонит плот, если её собственная скорость равна 200 м/мин?
Скорость плота (течения): 600 : 12 = 50 (м/мин). Скорость сближения лодки с плотом: 200 – 50 = 150 (м/мин). Время погони: 600 : 150 = 4 (мин). Расстояние от места стоянки: 200 · 4 = 800 (м). Проверка: плот за 12 + 4 = 16 мин пройдёт 50 · 16 = 800 м. Ответ: 800 м (так в ответах учебника). Оговорка: здесь 200 м/мин принята как скорость лодки относительно берега; если бы это была скорость в стоячей воде, лодка шла бы по течению со скоростью 250 м/мин, догнала бы плот за 3 мин и это было бы на расстоянии 750 м.
5.383. Найдите количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9. Есть ли среди них числа, кратные пяти; девяти?
Цифры в записи могут повторяться. Первая цифра — любая, кроме 0: 5 способов. Вторая, третья и четвёртая — любые из 6 цифр: 6 · 6 · 6 способов. Последняя цифра должна быть чётной: 0, 4 или 8 — 3 способа. Всего: 5 · 6 · 6 · 6 · 3 = 3240 чисел. Кратные пяти среди чётных есть: число делится на 5 и на 2, если оканчивается на 0, например 10 000 или 14 780. Кратные девяти тоже есть: сумма цифр должна делиться на 9, например 10 080 (1 + 0 + 0 + 8 + 0 = 9; 10 080 : 9 = 1120). Ответ: 3240; да, есть и кратные 5, и кратные 9. Оговорка: если цифры в числе не должны повторяться, чётных чисел было бы 312.
5.384. Представьте в виде несократимой дроби:
1. (25 · 18 – 25 · 6)/(25 · 18 + 25 · 6);
2. (91 · 18 – 15 · 91)/(91 · 18 + 91 · 4).
1) Вынесем 25 за скобки: 25 · (18 – 6)/(25 · (18 + 6)) = 12/24 = 1/2.
2. Вынесем 91: 91 · (18 – 15)/(91 · (18 + 4)) = 3/22.
5.385. Выполните действия: 1) 7 6/22 + 5 5/22; 2) 6 14/15 – 3 4/15; 3) 22/36 – 11/36 + 4/36; 4) 12/75 + 14/75 – 1/75.
1) 7 6/22 + 5 5/22 = 12 11/22 = 12 1/2. 2) 6 14/15 – 3 4/15 = 3 10/15 = 3 2/3.
3. (22 – 11 + 4)/36 = 15/36 = 5/12.
4. (12 + 14 – 1)/75 = 25/75 = 1/3.
5.386. Вычислите: а) (2616 : 6 + 26 · 14) : 4 – 196; б) (867 000 : 2125 – 396) · 25; в) 30 · 29 – 29 · 28 + 28 · 27 – 27 · 26; г) (39² + 39) + (40² – 40).
а) 2616 : 6 = 436; 26 · 14 = 364; 436 + 364 = 800; 800 : 4 = 200; 200 – 196 = 4. б) 867 000 : 2125 = 408; 408 – 396 = 12; 12 · 25 = 300. в) 30 · 29 – 29 · 28 = 29 · 2 = 58; 28 · 27 – 27 · 26 = 27 · 2 = 54; 58 + 54 = 112. г) 39² + 39 = 39 · 40 = 1560; 40² – 40 = 40 · 39 = 1560; 1560 + 1560 = 3120. Ответ: 4; 300; 112; 3120.
5.387. Приведите дробь: а) 5/7 к знаменателю 28; б) 11/15 к знаменателю 60; в) 13/19 к знаменателю 76; г) 11/15 к знаменателю 75.
а) 28 : 7 = 4: 5/7 = 20/28. б) 60 : 15 = 4: 11/15 = 44/60. в) 76 : 19 = 4: 13/19 = 52/76. г) 75 : 15 = 5: 11/15 = 55/75.
5.388. Сократите дроби 10/12, 39/45, 75/125, 21/70, а потом приведите их к знаменателю 30.
10/12 = 5/6 = 25/30. 39/45 = 13/15 = 26/30. 75/125 = 3/5 = 18/30. 21/70 = 3/10 = 9/30.
5.389. Приведите к общему знаменателю дроби: а) 5/9 и 1/4; б) 7/10 и 4/15; в) 3/20 и 5/24; г) 8/11 и 35/44; д) 6/17 и 2/11; е) 17/24 и 5/8.
а) 36: 5/9 = 20/36; 1/4 = 9/36. б) 30: 7/10 = 21/30; 4/15 = 8/30. в) 120: 3/20 = 18/120; 5/24 = 25/120. г) 44: 8/11 = 32/44; 35/44. д) 187: 6/17 = 66/187; 2/11 = 34/187. е) 24: 17/24; 5/8 = 15/24.
5.390. Жук и гусеница ползут по стволу дерева в противоположных направлениях. Жук находится на 22 см выше гусеницы (рис. 5.57) и ползёт со скоростью 4 см/с. С какой скоростью ползёт гусеница, если 50 см между ней и жуком будет через 4 с?
Жук выше гусеницы и они ползут в противоположные стороны (жук вверх, гусеница вниз), поэтому расстояние растёт. За 4 с оно выросло с 22 см до 50 см, то есть на 50 – 22 = 28 (см). Скорость удаления: 28 : 4 = 7 (см/с). Скорость гусеницы: 7 – 4 = 3 (см/с). Ответ: 3 см/с.