§ 5. Обыкновенные дроби. 34. Сокращение дробей (продолжение) — с. 59
5.339. Выполните действие и сократите результат: а) 3/20 + 7/20; б) 13/15 – 8/15; в) 9/22 + 2/22; г) 29/36 – 21/36.
а) 3/20 + 7/20 = 10/20 = 1/2. б) 13/15 – 8/15 = 5/15 = 1/3. в) 9/22 + 2/22 = 11/22 = 1/2. г) 29/36 – 21/36 = 8/36 = 2/9.
5.340. Выполните действие и сократите дробную часть полученного результата: а) 7 8/9 – 3 5/9; б) 5 5/12 + 2 1/12; в) 29 11/21 – 29 5/21; г) 6 3/10 + 7 5/10.
а) 7 8/9 – 3 5/9 = 4 3/9 = 4 1/3. б) 5 5/12 + 2 1/12 = 7 6/12 = 7 1/2. в) 29 11/21 – 29 5/21 = 6/21 = 2/7. г) 6 3/10 + 7 5/10 = 13 8/10 = 13 4/5.
5.341. Один станок-автомат за 12 ч изготавливает 40 высокоточных деталей, а другой за 9 ч — 30 таких же деталей. Сравните производительность обоих станков.
Производительность — число деталей за 1 ч. Первый станок: 40/12 = 10/3 = 3 1/3 (детали в час). Второй станок: 30/9 = 10/3 = 3 1/3 (детали в час). Производительность станков одинакова.
5.342. Из 17 кг муки выпекли 9 одинаковых тортов, а из 11 кг муки — 8 одинаковых кексов. Сколько муки пошло на выпечку одного торта; одного кекса?
На один торт: 17 : 9 = 17/9 = 1 8/9 (кг). На один кекс: 11 : 8 = 11/8 = 1 3/8 (кг). Ответ: 1 8/9 кг и 1 3/8 кг.
5.343. Представьте числитель дроби в виде произведения, применив распределительный закон, затем выполните сокращение и найдите значение выражения: а) (9 · 7 – 8 · 7)/(7 · 5); б) (13 · 7 + 13 · 9)/(13 · 32); в) (16 · 3 – 16 · 2)/32; г) (23 · 6 – 23 · 4)/46.
а) (9 · 7 – 8 · 7)/(7 · 5) = (9 – 8) · 7/(7 · 5) = 1/5. б) (13 · 7 + 13 · 9)/(13 · 32) = 13 · (7 + 9)/(13 · 32) = 16/32 = 1/2. в) (16 · 3 – 16 · 2)/32 = 16 · (3 – 2)/32 = 16/32 = 1/2. г) (23 · 6 – 23 · 4)/46 = 23 · (6 – 4)/46 = 46/46 = 1.
5.344. Вычислите. а) 9² : 27, ·32, +14, :10, –11; б) 5³ · 8, :20, –49, ·80, :5; в) 1 ч 20 мин, :4, –15 мин, :100, +7 с; г) 2 га 10 а, :7, +15 а, :500, –9 м².
а) 9² = 81; 81 : 27 = 3; 3 · 32 = 96; 96 + 14 = 110; 110 : 10 = 11; 11 – 11 = 0. б) 5³ = 125; 125 · 8 = 1000; 1000 : 20 = 50; 50 – 49 = 1; 1 · 80 = 80; 80 : 5 = 16. в) 1 ч 20 мин = 80 мин; 80 : 4 = 20 мин; 20 – 15 = 5 мин = 300 с; 300 : 100 = 3 с; 3 + 7 = 10 с. г) 2 га 10 а = 210 а; 210 : 7 = 30 а; 30 + 15 = 45 а = 4500 м²; 4500 : 500 = 9 м²; 9 – 9 = 0 м². Ответ: 0; 16; 10 с; 0 м².
5.345. Найдите недостающие числа (схемы а и б).
а) Из числа 30 по стрелкам: 30 : 2 = 15; 30 : 10 = 3; 30 : 6 = 5; 30 · 4 = 120; 30 · 21 = 630. б) Идём от конца цепочки к началу, выполняя обратные действия. В конце 1, перед этим было 1 · 10 = 10 (так как делили на 10); перед этим 10 · 5 = 50; перед этим 50 · 4 = 200; перед этим 200 · 3 = 600; в начале 600 · 2 = 1200. Проверка: 1200 : 2 = 600; 600 : 3 = 200; 200 : 4 = 50; 50 : 5 = 10; 10 : 10 = 1. Ответ: а) 15, 3, 5, 120, 630; б) 1200 (квадрат), затем 600, 200, 50, 10.
5.346. Найдите равные дроби среди чисел 1/5, 2/4, 1, 3/15, 10/35, 1/2, 6/8, 9/9, 113/113, 4/5 и 2/10.
Сократим дроби: 3/15 = 1/5; 2/10 = 1/5; 2/4 = 1/2; 9/9 = 1; 113/113 = 1; 10/35 = 2/7; 6/8 = 3/4; 4/5 уже несократима. Равны между собой: 1/5 = 3/15 = 2/10; 2/4 = 1/2; 1 = 9/9 = 113/113. Дроби 10/35, 6/8 и 4/5 равных себе в списке не имеют.
5.347. Замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным: а) 5/9 = n/27; б) 1/3 = 7/c; в) r/5 = 5/z; г) m/12 = 5/c.
а) Знаменатель умножили на 3 (9 · 3 = 27), значит n = 5 · 3 = 15. б) Числитель умножили на 7, значит c = 3 · 7 = 21. в) По основному свойству r · z = 5 · 5 = 25; подходит, например, r = 5 и z = 5 (5/5 = 5/5), а также r = 1, z = 25 или r = 25, z = 1. г) m · c = 12 · 5 = 60; например, m = 6 и c = 10 (6/12 = 5/10), m = 12 и c = 5 (12/12 = 5/5), m = 10 и c = 6, m = 3 и c = 20. Оговорка: в а), б), г) нужны числа, а не однозначные цифры (слово «цифры» в условии использовано условно); в в), г) решений несколько.
5.348. Из чисел 2, 3, 6, 8, 9, 12, 36 выпишите делители числа: а) 6; б) 24; в) 48.
а) Делители 6: 2, 3, 6. б) Делители 24: 2, 3, 6, 8, 12. в) Делители 48: 2, 3, 6, 8, 12 (9 и 36 не делят 48: 48 : 9 и 48 : 36 не целые).
5.349. Верно ли высказывание: а) 600 – (25 · 4 + 28 · 5 – 120 : 2) : 6 – (36 : 18 + 510 : 170) · 20 > 107; б) (900 : 15 – 54) · 18 – (135 – 105) · (39 : 13) + 121 : 11 · 13 < 161?
а) 25 · 4 = 100; 28 · 5 = 140; 120 : 2 = 60; 100 + 140 – 60 = 180; 180 : 6 = 30. 36 : 18 = 2; 510 : 170 = 3; (2 + 3) · 20 = 100. 600 – 30 – 100 = 470; 470 > 107 — верно. б) 900 : 15 = 60; 60 – 54 = 6; 6 · 18 = 108. 135 – 105 = 30; 39 : 13 = 3; 30 · 3 = 90. 121 : 11 = 11; 11 · 13 = 143. 108 – 90 + 143 = 161; 161 < 161 — неверно (значение равно 161). Ответ: а) верно; б) неверно.
5.350. Из нечётных цифр составлены пятизначные числа. Сколько таких чисел составлено, если цифры в записи числа не повторяются?
Нечётных цифр пять: 1, 3, 5, 7, 9, и в запись входят все пять. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую — 4, третью — 3, четвёртую — 2, пятую — 1: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Ответ: 120 чисел.
5.351. Скорость теплохода по течению реки равна 28 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч. Найдите скорость теплохода против течения реки.
Собственная скорость: 28 – 2 = 26 (км/ч). Против течения: 26 – 2 = 24 (км/ч). Ответ: 24 км/ч.
5.352. Скорость моторной лодки по течению реки 18 км/ч, а против течения — 14 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения: 18 – 14 = 4 км/ч, значит течение 4 : 2 = 2 (км/ч). Собственная скорость: 18 – 2 = 16 (км/ч) (проверка: 16 – 2 = 14). Ответ: 16 км/ч и 2 км/ч.