§ 5. Обыкновенные дроби. 33. Основное свойство дроби (продолжение) — с. 56
5.320. Числа c и 2 отмечены на координатной прямой (рис. 5.55). Кратно ли число c двум?
Отметьте на прямой ещё два общих кратных чисел c и 2.
На рисунке расстояние от 0 до точки c ровно вдвое больше расстояния от 0 до точки 2, поэтому c = 4. Число 4 кратно 2, так как 4 = 2 · 2. Общие кратные чисел 4 и 2 — это числа, кратные 4: например, 8 и 12 (8 = 4 · 2 = 2 · 4; 12 = 4 · 3 = 2 · 6). Их нужно отметить на прямой правее c на расстояниях 8 и 12 единичных отрезков от нуля (на 2 и 4 длины отрезка 0–c правее точки c: 8 — через один отрезок 0–c, 12 — через два). Оговорка: значение c = 4 определено по рисунку.
5.321. Координаты каких точек — общие кратные чисел a и b (рис. 5.56)?
По дугам на рисунке: нижние дуги — шаги по a от нуля (0 → a → M → N), верхние — шаги по b (0 → b → N). Если единичный отрезок взять за 1, то a = 2, b = 3, M = 4, N = 6, K = 9, R = 12. Число кратно a и b одновременно, если оно кратно и 2, и 3, то есть кратно 6. Таким числам соответствуют точки N (6) и R (12). Точка M (4) кратна только 2, точка K (9) кратна только 3. Ответ: N и R. Оговорка: значения координат определены по рисунку.
5.322. Для эстафеты, состоящей из четырёх этапов, надо отобрать участников из числа обладателей золотого значка ГТО. а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, если в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО? б) Сколькими способами члены этой команды могут распределить этапы лыжной эстафеты?
а) Выбираем 4 из 12 без учёта порядка. Число способов: (12 · 11 · 10 · 9) : (4 · 3 · 2 · 1) = 11 880 : 24 = 495. б) Четверо участников распределяют 4 этапа: на первый этап можно поставить любого из 4, на второй — любого из оставшихся 3, на третий — любого из 2, на четвёртый — последнего: 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Ответ: а) 495 способов; б) 24 способа.
5.323. Составьте задачу по выражению: а) 1/12 + 5/12; б) 5/12 – 1/12.
а) В кувшин налили 1/12 л сока, потом долили ещё 5/12 л. Сколько литров сока стало в кувшине? (1/12 + 5/12 = 6/12 = 1/2 л.) б) В кувшине было 5/12 л сока, 1/12 л выпили. Сколько сока осталось? (5/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3 л.) Оговорка: сюжет можно взять любой, важно соответствие действию. Знак во втором выражении прочитан как вычитание.
5.324.
1. Туристы совершили сплав на байдарках. Первые 39 км они двигались со скоростью 13 км/ч и сделали остановку на 4 ч, а потом плыли со скоростью 15 км/ч. Сколько времени продолжался сплав, если туристы проплыли 84 км?
2. Группа спортсменов по ориентированию на местности первые 3 ч шла со скоростью 5 км/ч и сделала остановку на 2 ч, а остальное время шла по гористой местности со скоростью 2 км/ч. Сколько времени группа затратила на весь переход длиной 21 км?
1) Первые 39 км: 39 : 13 = 3 (ч). Осталось проплыть 84 – 39 = 45 (км), на это ушло 45 : 15 = 3 (ч). Всего с остановкой: 3 + 4 + 3 = 10 (ч). Ответ: 10 ч.
2. За первые 3 ч прошли 5 · 3 = 15 (км). Осталось 21 – 15 = 6 (км), на это ушло 6 : 2 = 3 (ч). Всего с остановкой: 3 + 2 + 3 = 8 (ч). Ответ: 8 ч.
5.325. Найдите значение выражения: а) 776 · 16 + 324 · 16; б) 384 · 15 – 124 · 15; в) 28 350 : 225 · 45 – 1673; г) (4976 + 1524) · 4 – 3568.
а) (776 + 324) · 16 = 1100 · 16 = 17 600. б) (384 – 124) · 15 = 260 · 15 = 3900. в) 28 350 : 225 = 126; 126 · 45 = 5670; 5670 – 1673 = 3997. г) 4976 + 1524 = 6500; 6500 · 4 = 26 000; 26 000 – 3568 = 22 432.
5.326. Запишите в виде равенства тремя различными способами: а) 5 на m больше, чем n; б) 5 на a меньше, чем b; в) x в 5 раз больше, чем y; г) z в 5 раз меньше, чем c.
а) Число 5 больше n на m: 5 = n + m; или 5 – n = m; или 5 – m = n. б) Число 5 меньше b на a: 5 = b – a; или b – 5 = a; или b – a = 5. в) x = 5 · y; или x : y = 5; или x : 5 = y. г) z · 5 = c; или c : z = 5; или c : 5 = z.
5.327. Умножьте на 6 числитель и знаменатель дробей 4/5, 7/8, 13/15, 37/40. Запишите соответствующие равенства.
4/5 = (4 · 6)/(5 · 6) = 24/30. 7/8 = (7 · 6)/(8 · 6) = 42/48. 13/15 = (13 · 6)/(15 · 6) = 78/90. 37/40 = (37 · 6)/(40 · 6) = 222/240.
5.328. Приняв за единичный отрезок 24 клетки тетради, начертите координатную прямую. Отметьте на этой прямой точки с координатами 1/8, 1/12, 3/4, 7/12, 8/12, 18/24. Какие из координат соответствуют одной и той же точке?
Запишите равенства.
Единичный отрезок — 24 клетки. 1/8 → 24 : 8 = 3 клетки; 1/12 → 2 клетки; 3/4 → 24 : 4 · 3 = 18 клеток; 7/12 → 2 · 7 = 14 клеток; 8/12 → 2 · 8 = 16 клеток; 18/24 → 18 клеток. Одной точке (на расстоянии 18 клеток от нуля) соответствуют координаты 3/4 и 18/24: 3/4 = 18/24. Остальные точки (3, 2, 14 и 16 клеток) различны.
5.329. Найдите, сколько четырнадцатых долей содержится в 1/2, 1/7, 2/7, 7/2.
Приведём дроби к знаменателю 14. 1/2 = 7/14 — семь четырнадцатых. 1/7 = 2/14 — две. 2/7 = 4/14 — четыре. 7/2 = 49/14 — сорок девять. Оговорка: последнее число прочитано как 7/2; если это 7/12, то оно не приводится к знаменателю 14 без остатка.
5.330. Решите уравнение: а) 245 · (m – 33) = 4410; б) 864k – 470k = 5910; в) (3x + 12) : 72 = 21; г) 420 : (y – 15) = 84.
а) m – 33 = 4410 : 245 = 18; m = 18 + 33 = 51. б) (864 – 470)k = 394k = 5910; k = 5910 : 394 = 15. в) 3x + 12 = 21 · 72 = 1512; 3x = 1512 – 12 = 1500; x = 500. г) y – 15 = 420 : 84 = 5; y = 5 + 15 = 20. Ответ: а) 51; б) 15; в) 500; г) 20.