§ 5. Обыкновенные дроби. 33. Основное свойство дроби (продолжение) — с. 55
5.310. Используя циферблат часов на рисунке 5.54, объясните, почему равны дроби: а) 1/6 = 2/12 = 10/60; б) 1/2 = 6/12 = 30/60; в) 5/6 = 10/12 = 50/60; г) 1/3 = 4/12 = 20/60.
Циферблат — круг, разделённый на 12 равных частей (часовые деления) и на 60 равных частей (минутные деления); в каждой часовой части 5 минутных, 60 : 12 = 5. а) Стрелка прошла 1/6 круга: это 2 часовых деления из 12 и 10 минутных из 60, поэтому 1/6 = 2/12 = 10/60. б) Половина круга: 6 часовых делений и 30 минутных, 1/2 = 6/12 = 30/60. в) 5/6 круга: 10 часовых делений и 50 минутных, 5/6 = 10/12 = 50/60. г) Треть круга: 4 часовых деления и 20 минутных, 1/3 = 4/12 = 20/60. Во всех случаях стрелка проходит одну и ту же часть круга, а дробь записана через разное число равных долей. Оговорка: положения стрелок прочитаны по мелкому рисунку.
5.311. Поясните, используя циферблат часов, почему: а) 1/4 = 3/12 = 15/60; б) 3/4 = 9/12 = 45/60.
а) Четверть круга — это 3 часовых деления из 12 (12 : 4 = 3) и 15 минутных из 60 (60 : 4 = 15), поэтому 1/4 = 3/12 = 15/60. б) Три четверти круга — это 3 · 3 = 9 часовых делений и 3 · 15 = 45 минутных делений, поэтому 3/4 = 9/12 = 45/60.
5.312. Проведите равные отрезки MN и PK длиной 9 см. Отложите 2/3 отрезка MN от точки M и поставьте точку A. Отложите 6/9 отрезка PK от точки K и поставьте точку S. Сравните с помощью циркуля отрезки MA и KS. Сделайте вывод.
Построение: MN = PK = 9 см. 2/3 от 9 см: 9 : 3 · 2 = 6 см, поэтому MA = 6 см. 6/9 от 9 см: 9 : 9 · 6 = 6 см, поэтому KS = 6 см. Раствор циркуля по MA совпадёт с KS: MA = KS. Вывод: 2/3 = 6/9, то есть равные дроби отрезка задают отрезки одинаковой длины (одну и ту же часть).
5.313. Приняв за единичный отрезок 12 см, начертите координатную прямую. Отметьте на ней точки с координатами 1/12, 2/12, …, 11/12, 1/8, 2/8, …, 7/8, 1/4, 3/4. Какие из этих координат соответствуют одной и той же точке?
Запишите соответствующие равенства.
Единичный отрезок 12 см. Точка k/12 лежит на расстоянии k см от нуля (1/12 — 1 см, 2/12 — 2 см, …, 11/12 — 11 см). Точка k/8 лежит на расстоянии 12 : 8 · k = 1,5 · k см (1/8 — 1,5 см, 2/8 — 3 см, 3/8 — 4,5 см, 4/8 — 6 см, 5/8 — 7,5 см, 6/8 — 9 см, 7/8 — 10,5 см). 1/4 — 3 см, 3/4 — 9 см. Совпадают точки на расстояниях 3 см, 6 см и 9 см. Равенства: 1/4 = 2/8 = 3/12; 4/8 = 6/12 (= 1/2); 3/4 = 6/8 = 9/12. Других совпадений нет.
5.314. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби 1/4, 2/6, 42/9, 41/50 на 4. Запишите соответствующие равенства.
1/4 = (1 · 4)/(4 · 4) = 4/16. 2/6 = (2 · 4)/(6 · 4) = 8/24. 42/9 = (42 · 4)/(9 · 4) = 168/36. 41/50 = (41 · 4)/(50 · 4) = 164/200.
5.315. Найдите, сколько двадцать четвёртых долей в 1/12, 1/8, 4/6, 7/8, 2/3.
Приведём к знаменателю 24. 1/12 = (1 · 2)/(12 · 2) = 2/24 — две двадцать четвёртые. 1/8 = (1 · 3)/(8 · 3) = 3/24 — три. 4/6 = (4 · 4)/(6 · 4) = 16/24 — шестнадцать. 7/8 = (7 · 3)/(8 · 3) = 21/24 — двадцать одна. 2/3 = (2 · 8)/(3 · 8) = 16/24 — шестнадцать.
5.316. Верно ли равенство: а) 5/7 = 10/14; б) 55/1000 = 11/250; в) 55/1000 = 11/200?
а) Верно: 5/7 = (5 · 2)/(7 · 2) = 10/14. б) Неверно: числитель 55 : 5 = 11, а знаменатель 1000 : 5 = 200, значит 55/1000 = 11/200, а не 11/250. в) Верно: 55/1000 = (55 : 5)/(1000 : 5) = 11/200.
5.317. Запишите в виде обыкновенных дробей частные 3 : 5, 14 : 33, 30 : 50 и 6 :
13. Какие из полученных дробей равны?
3 : 5 = 3/5; 14 : 33 = 14/33; 30 : 50 = 30/50; 6 : 13 = 6/13. Равны дроби 3/5 и 30/50: 3/5 = (3 · 10)/(5 · 10) = 30/50. Остальные не равны.
5.318. Запишите по две дроби, равные дроби: а) 1/2; б) 4/6; в) 3/5; г) 12/14.
Можно взять, например: а) 1/2 = 2/4 = 3/6. б) 4/6 = 8/12 = 12/18 (или 2/3). в) 3/5 = 6/10 = 9/15. г) 12/14 = 24/28 = 36/42 (или 6/7). Оговорка: ответов бесконечно много, указаны примеры.
5.319. Вычислите. а) 400 : 25, ·5, +40, :12, +190; б) 700 – 20, :4, ·2, :17, +480; в) 420 : 14, ·6, +120, :25, ·8; г) 320 + 240, :80, ·50, –60, :29.
а) 400 : 25 = 16; 16 · 5 = 80; 80 + 40 = 120; 120 : 12 = 10; 10 + 190 = 200. б) 700 – 20 = 680; 680 : 4 = 170; 170 · 2 = 340; 340 : 17 = 20; 20 + 480 = 500. в) 420 : 14 = 30; 30 · 6 = 180; 180 + 120 = 300; 300 : 25 = 12; 12 · 8 = 96. г) 320 + 240 = 560; 560 : 80 = 7; 7 · 50 = 350; 350 – 60 = 290; 290 : 29 = 10. Ответ: 200; 500; 96; 10.