§ 5. Обыкновенные дроби. 29. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — с. 34
5.186. Найдите периметр и площадь треугольника MBC, изображённого на рисунке 5.42.
Треугольник MBC прямоугольный: катеты MB = 4 см и BC = 3 см, гипотенуза MC = 5 см. Периметр: 4 + 3 + 5 = 12 (см). Площадь: 4 · 3 : 2 = 6 (см²). Ответ: 12 см; 6 см².
5.187. Верно ли утверждение: а) 131/289 меньше 289/131; б) 121/111 больше 651/651?
а) 131/289 — правильная дробь, она меньше 1; 289/131 — неправильная, она больше 1. Значит, 131/289 < 289/131: утверждение верно. б) 651/651 = 1; 121/111 — неправильная дробь с числителем больше знаменателя, она больше 1. Значит, 121/111 > 651/651: утверждение верно.
5.188. При каких значениях a: а) дробь a/19 будет правильной; б) дробь 7/a будет неправильной?
a — натуральное число. а) a/19 правильная, если a < 19: a = 1, 2, …, 18. б) 7/a неправильная, если 7 ≥ a: a = 1, 2, …, 7.
5.189. На ремонт потратили 140 000 р. Мастерам за работу заплатили 3/7 этой суммы. Сколько заплатили мастерам?
140 000 : 7 = 20 000 (р.) — одна седьмая. 20 000 · 3 = 60 000 (р.). Ответ: 60 000 рублей.
5.190. Поставьте знак > или < вместо знака вопроса, чтобы получилось верное неравенство: а) 9/16 ? 13/16; б) 14/9 ? 11/9; в) 1 ? 349/759; г) 59/49 ? 1; д) 101 010 101/100 000 000 ? 0; е) 1/1 000 000 000 ? 0.
а) Знаменатели равны, 9 < 13: 9/16 < 13/16. б) 14 > 11: 14/9 > 11/9. в) 349/759 — правильная дробь, меньше 1: 1 > 349/759. г) 59/49 — неправильная дробь с числителем большим знаменателя: 59/49 > 1. д) Дробь положительна: 101 010 101/100 000 000 > 0. е) 1/1 000 000 000 > 0 (хотя и очень мала).
5.191. Найдите разность наибольшей и наименьшей площадей граней прямоугольного параллелепипеда, если его длина 9 м, ширина 7 м и высота 11 м.
Грани — прямоугольники со сторонами из этих измерений: 9 · 7 = 63 (м²); 9 · 11 = 99 (м²); 7 · 11 = 77 (м²). Наибольшая площадь 99 м², наименьшая 63 м². Разность: 99 – 63 = 36 (м²). Ответ: 36 м².
5.192. а) Для изготовления 1 т бумаги используют 600 кг целлюлозы. Сколько центнеров бумаги можно получить из 70 м³ древесины, если из 1 м³ древесины получается 300 кг целлюлозы? б) Сколько километров вискозной ткани можно получить из 20 м³ древесины, если из 1 м³ древесины получается 200 кг целлюлозы, а для изготовления 75 м вискозной ткани требуется 1 кг целлюлозы?
а) Из 70 м³ получится 300 · 70 = 21 000 (кг) целлюлозы. На 1 т бумаги нужно 600 кг, значит бумаги можно получить 21 000 : 600 = 35 (т) = 350 (ц). Ответ: 350 ц. б) Из 20 м³ получится 200 · 20 = 4000 (кг) целлюлозы. Из 1 кг получается 75 м ткани: 4000 · 75 = 300 000 (м) = 300 км. Ответ: 300 км. (Сходится с ответами учебника.)
5.193. Разбираемся в решении. Чтобы открыть кодовый замок, имеющий шесть кнопок, нужно набрать код, т. е. нажать все кнопки в определённом порядке. Сколько существует вариантов кода этого замка?
Первую кнопку можно выбрать 6 способами, вторую — 5 (из оставшихся), третью — 4, четвёртую — 3, пятую — 2, шестую — единственным способом. Всего вариантов: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720. Ответ: 720 вариантов кода.
5.194. Решите уравнение: а) (z – 39) · 37 = 7955; б) 789 · (t – 361) = 11 835; в) (205 · 78 + m) : 9109 = 6; г) 49 635 : (m – 973) = 1103; д) 21z + 7z – 38 = 46; е) 24t – 13t – 7 = 15.
а) z – 39 = 7955 : 37 = 215; z = 215 + 39 = 254. б) t – 361 = 11 835 : 789 = 15; t = 376. в) 205 · 78 + m = 6 · 9109 = 54 654; 205 · 78 = 15 990; m = 54 654 – 15 990 = 38 664. г) m – 973 = 49 635 : 1103 = 45; m = 45 + 973 = 1018. д) 28z – 38 = 46; 28z = 84; z = 3. е) 11t – 7 = 15; 11t = 22; t = 2. Ответы: 254; 376; 38 664; 1018; 3; 2 (совпадают с ответами учебника).
5.195.
1. Какая часть деталей была с браком, если из 400 изготовленных деталей 7 оказались бракованными?
2. Какую часть книги занимала повесть, если в книге было 160 страниц, а повесть занимала 97 страниц?
1) Бракованных 7 из 400: 7/400 всех деталей.
2. Повесть занимала 97 из 160 страниц: 97/160 книги. Ответ: 7/400; 97/160.
5.196. Выполните действия деления и умножения: 1) 90 720 : (207 : 23 · 840); 2) 19 392 : 48 · (510 : 5); 3) 14 700 : 21 : 7 · 49; 4) 280 : 20 : (56 : 8) : (14 : 7).
1) 207 : 23 = 9; 9 · 840 = 7560; 90 720 : 7560 = 12. 2) 19 392 : 48 = 404; 510 : 5 = 102; 404 · 102 = 41 208. 3) 14 700 : 21 = 700; 700 : 7 = 100; 100 · 49 = 4900. 4) 280 : 20 = 14; 56 : 8 = 7; 14 : 7 = 2; 14 : 7 = 2; 2 : 2 = 1. Ответы: 12; 41 208; 4900; 1 (совпадают с ответами учебника).
5.197. За первый день было собрано 10/19 всех фруктов, а за второй — 7/19 всех фруктов. а) Какая часть фруктов была собрана за эти два дня? б) На какую часть фруктов было собрано больше в первый день, чем во второй?
а) 10/19 + 7/19 = 17/19 всех фруктов. б) 10/19 – 7/19 = 3/19: в первый день собрали больше на 3/19 всех фруктов. Ответ: 17/19; 3/19.