§ 5. Обыкновенные дроби. 28. Правильные и неправильные дроби — с. 28
5.147. а) Найдите сумму 5/6 числа 72 и 2/9 числа 72. б) Найдите разность 2/3 числа 60 и 2/5 числа 40. в) Найдите произведение 3/4 числа 56 и 4/3 числа 36. г) Найдите частное 5/8 числа 64 и 2/5 числа 25.
а) 5/6 от 72: 72 : 6 = 12; 12 · 5 = 60. 2/9 от 72: 72 : 9 = 8; 8 · 2 = 16. Сумма: 60 + 16 = 76. б) 2/3 от 60: 60 : 3 = 20; 20 · 2 = 40. 2/5 от 40: 40 : 5 = 8; 8 · 2 = 16. Разность: 40 – 16 = 24. в) 3/4 от 56: 56 : 4 = 14; 14 · 3 = 42. 4/3 от 36: 36 : 3 = 12; 12 · 4 = 48. Произведение: 42 · 48 = 2016. г) 5/8 от 64: 64 : 8 = 8; 8 · 5 = 40. 2/5 от 25: 25 : 5 = 5; 5 · 2 = 10. Частное: 40 : 10 = 4. Ответы: 76; 24; 2016; 4.
5.148. Найдите число, если: а) четверть числа равна 17; б) треть числа равна 23; в) три четверти числа равны 45; г) две трети числа равны 48.
а) Число в 4 раза больше своей четверти: 17 · 4 = 68. б) 23 · 3 = 69. в) Одна четверть: 45 : 3 = 15; число: 15 · 4 = 60. г) Одна треть: 48 : 2 = 24; число: 24 · 3 = 72. Ответы: 68; 69; 60; 72.
5.149. Разбираемся в решении. Какая часть четырёхугольника MNKH (рис. 5.37) закрашена?
Какая часть — не закрашена?
Линии на рисунке делят трапецию MNKH на 9 треугольников равной площади (у них одинаковые площади: это можно проверить, найдя площади по основаниям и высотам — каждая равна 1/9 площади трапеции). Закрашено 6 треугольников, не закрашено 3 (белые: верхний у стороны NK и по одному в каждой половине трапеции). Закрашено 6/9 = 2/3 четырёхугольника, не закрашено 3/9 = 1/3. Оговорка: равенство 9 треугольников проверено измерением на увеличенном рисунке; числа 6 и 3 прочитаны по рисунку.
5.150. Выразите в метрах: а) 5 км 200 м; б) 3 км 20 м; в) 1 км 5 м; г) 13 км; д) 1000 км 1 м.
1 км = 1000 м. а) 5000 + 200 = 5200 м. б) 3000 + 20 = 3020 м. в) 1000 + 5 = 1005 м. г) 13 · 1000 = 13 000 м. д) 1000 км = 1 000 000 м; 1 000 000 + 1 = 1 000 001 м.
5.151. Расположите дроби 12/13, 4/13, 2/13, 10/13, 9/13, 8/13 и 7/13 в порядке: а) возрастания; б) убывания.
Знаменатели одинаковы, сравниваем числители. а) По возрастанию: 2/13, 4/13, 7/13, 8/13, 9/13, 10/13, 12/13. б) По убыванию: 12/13, 10/13, 9/13, 8/13, 7/13, 4/13, 2/13.
5.152. Запишите пять дробей, которые: а) меньше 1/1000; б) больше 1/1000.
Дробь с числителем 1 тем меньше, чем больше знаменатель. а) Меньше 1/1000: 1/1001, 1/2000, 1/5000, 1/10 000, 1/1 000 000. б) Больше 1/1000: 1/999, 1/500, 1/100, 1/10, 1/2. (Подойдут и другие дроби, например 2/1000 > 1/1000 с тем же знаменателем.)
5.153. Постройте квадрат, сторона которого равна 6 клеткам. Покажите: 10/36 квадрата; 5/18 квадрата. Сравните площади этих частей квадрата. Объясните полученный результат.
В квадрате 6 · 6 = 36 клеток. 10/36 квадрата — это 10 клеток (закрашиваем их на левом рисунке). Для 5/18 разделим квадрат на 18 равных частей: 36 : 18 = 2 клетки в каждой части (вертикальные пары клеток); закрашиваем 5 таких частей, то есть 5 · 2 = 10 клеток (правый рисунок). Площади обеих закрашенных частей равны 10 клеток. Объяснение: 10/36 = 5/18, так как числитель и знаменатель дроби 10/36 можно разделить на 2 (10 : 2 = 5, 36 : 2 = 18), а значение дроби от этого не меняется.
5.154. За сезон с первого поля собрали в 2 раза больше клубники, чем со второго, а с третьего — на 6 т больше, чем со второго. Сколько тонн клубники собрали с каждого поля, если общий урожай составил 54 т?
Пусть со второго поля собрали x т. Тогда с первого — 2x т, с третьего — (x + 6) т. Всего: x + 2x + (x + 6) = 54; 4x + 6 = 54; 4x = 48; x = 12. Второе поле — 12 т, первое — 12 · 2 = 24 т, третье — 12 + 6 = 18 т. Проверка: 24 + 12 + 18 = 54. Ответ: 24 т, 12 т и 18 т.
5.155. Составьте условие задачи по уравнению: а) (x + 12) – 2 = 25; б) 2(m – 6) = 28; в) 5(25 + n) + 25 = 225.
Возможные условия (составлены как пример). а) В корзине было x яблок. В неё добавили 12 яблок, а потом 2 яблока взяли. Осталось 25 яблок. Сколько яблок было сначала? б) В двух одинаковых коробках лежало по m конфет. Из каждой коробки взяли по 6 конфет, и в двух коробках осталось 28 конфет. Сколько конфет было в каждой коробке? в) В 5 одинаковых коробках лежало по 25 карандашей. В каждую коробку добавили ещё по n карандашей, и вместе с 25 карандашами, лежавшими отдельно, всего стало 225 карандашей. Сколько карандашей добавили в каждую коробку? Оговорка: возможны другие сюжеты, важна структура уравнения.
5.156. В первом букете a цветов, а во втором — b цветов. Из первого букета вынули r цветов, а из второго — z цветов. а) Какой смысл имеют выражения: a + b; a – b; r + z; r – z; (a + b) – (r + z); (a – r) + (b – z)? б) Объясните, почему (a + b) – (r + z) = (a – r) + (b – z) при a > r, b > z. Проверьте это равенство при a = 69, b = 27, r = 48, z = 13. в) Используя равенство из пункта б), выполните действия: (437 + 789) – (337 + 239); (741 + 289) – (231 + 59).
а) a + b — число цветов в двух букетах вместе. a – b — на сколько цветов в первом букете больше, чем во втором (при a > b). r + z — сколько цветов вынули из двух букетов вместе. r – z — на сколько цветов из первого букета вынули больше, чем из второго. (a + b) – (r + z) — сколько цветов осталось в двух букетах вместе. (a – r) + (b – z) — сколько цветов осталось в первом букете плюс сколько осталось во втором, то есть тоже сколько осталось в двух букетах вместе. б) Оба выражения считают число оставшихся цветов, только разными способами (сначала всё сложили и вычли всё вынутое, либо сначала посчитали остатки в каждом букете), поэтому они равны. Проверка: (69 + 27) – (48 + 13) = 96 – 61 = 35; (69 – 48) + (27 – 13) = 21 + 14 = 35. Равенство верно. в) (437 + 789) – (337 + 239) = (437 – 337) + (789 – 239) = 100 + 550 = 650. (741 + 289) – (231 + 59) = (741 – 231) + (289 – 59) = 510 + 230 = 740. Ответ: 650; 740.