§ 5. Обыкновенные дроби. 26. Доли и дроби. Изображение дробей на координатной прямой — с. 17
5.67. Вычислите. а) 55 – 47, ·9, –34, :19, ·24; б) 91 : 13, ·80, +240, –500, :15; в) 75 – 66, ·9, –27, +18, :18; г) 98 : 14, ·70, +210, :35, ·15; д) 84 – 78, ·8, +12, :5, ·30.
Выполняем действия по цепочке. а) 55 – 47 = 8; 8 · 9 = 72; 72 – 34 = 38; 38 : 19 = 2; 2 · 24 = 48. Ответ: 48. б) 91 : 13 = 7; 7 · 80 = 560; 560 + 240 = 800; 800 – 500 = 300; 300 : 15 = 20. Ответ: 20. в) 75 – 66 = 9; 9 · 9 = 81; 81 – 27 = 54; 54 + 18 = 72; 72 : 18 = 4. Ответ: 4. г) 98 : 14 = 7; 7 · 70 = 490; 490 + 210 = 700; 700 : 35 = 20; 20 · 15 = 300. Ответ: 300. д) 84 – 78 = 6; 6 · 8 = 48; 48 + 12 = 60; 60 : 5 = 12; 12 · 30 = 360. Ответ: 360.
5.68. Сотую часть миллиона уменьшили на 1000 и результат уменьшили в сто раз. Сколько получили?
Сотая часть миллиона: 1 000 000 : 100 = 10 000. Уменьшили на 1000: 10 000 – 1000 = 9000. Уменьшили в сто раз: 9000 : 100 = 90. Ответ: 90.
5.69. Дополните утверждение: «Отрезок является радиусом, если он…»
Отрезок является радиусом (окружности или круга), если он соединяет центр окружности с какой-нибудь точкой на этой окружности (один конец отрезка — центр, другой лежит на окружности).
5.70. а) Есть ли такие две точки круга диаметром 12 см, расстояние между которыми равно 6 см, 1 мм, 14 см и 12 см? б) Есть ли такие две точки окружности радиусом 6 см, расстояние между которыми равно 6 мм, 1 см, 14 см и 12 см?
Диаметр круга — наибольшее из расстояний между его точками, он равен 12 см (в пункте б) диаметр окружности радиусом 6 см тоже 12 см). а) Расстояние 6 см — есть (например, от центра до края круга); 1 мм — есть (две близкие точки круга); 14 см — нет (больше диаметра); 12 см — есть (концы диаметра). б) 6 мм — есть (две близкие точки окружности); 1 см — есть; 14 см — нет (расстояние между точками окружности не больше диаметра 12 см); 12 см — есть (концы диаметра). Ответ: да, да, нет, да в обоих пунктах.
5.71. Является ли полукруг сектором?
Да. Полукруг — часть круга, ограниченная диаметром и дугой окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, лежащих на одной прямой, поэтому полукруг — это сектор, ограниченный двумя радиусами, угол между которыми «развёрнутый» (частный случай сектора).
5.72. Сколько секунд в: а) шестой доле минуты; б) четверти минуты; в) трети минуты; г) пятнадцатой доле минуты; д) двенадцатой доле минуты; е) пятой доле четверти минуты?
1 мин = 60 с. а) 60 : 6 = 10 с. б) 60 : 4 = 15 с. в) 60 : 3 = 20 с. г) 60 : 15 = 4 с. д) 60 : 12 = 5 с. е) четверть минуты — 15 с; пятая доля от неё: 15 : 5 = 3 с.
5.73. Сколько минут в: а) 4 часах; б) трети часа; в) половине суток; г) шестой доле часа; д) четверти часа; е) половине часа?
1 ч = 60 мин; 1 сутки = 24 ч. а) 4 · 60 = 240 мин. б) 60 : 3 = 20 мин. в) половина суток — 12 ч: 12 · 60 = 720 мин. г) 60 : 6 = 10 мин. д) 60 : 4 = 15 мин. е) 60 : 2 = 30 мин.
5.74. Отражения часов в зеркале (рис. 5.21) показывают 7 ч. Какое время в действительности показывают часы, если их отражения показывают 3 ч, 2 ч, 12 ч 15 мин и 2 ч 20 мин?
Когда время на часах и на их отражении совпадёт?
В зеркале левая и правая стороны меняются местами, поэтому время на отражении t и настоящее время связаны так: настоящее = 12 ч – t (стрелки симметричны относительно вертикальной оси 12–6). Отражение показывает 7 ч — на самом деле 12 – 7 = 5 ч. Отражение 3 ч — на самом деле 12 – 3 = 9 ч. Отражение 2 ч — на самом деле 10 ч. Отражение 12 ч 15 мин: 12 ч 00 мин – 12 ч 15 мин = –15 мин, то есть 11 ч 45 мин. Отражение 2 ч 20 мин: 12 ч – 2 ч 20 мин = 9 ч 40 мин. Время на часах и на отражении совпадает, когда стрелки симметричны сами себе относительно вертикали, то есть в 12 ч и в 6 ч (а также в те же моменты вечера: 18 ч и 24 ч). Оговорка: ответ даётся для стрелочных часов с делением циферблата на 12 ч.
5.75. Проведите отрезок MN, равный 7 см. Постройте точки, удалённые от M и от N на 7 см.
Точки, удалённые от M на 7 см, лежат на окружности с центром M и радиусом 7 см; удалённые от N на 7 см — на окружности с центром N и радиусом 7 см. Строим обе окружности (раствор циркуля 7 см, иглу ставим в M, затем в N). Они пересекаются в двух точках K и L, симметричных относительно прямой MN; для каждой из них KM = KN = 7 см и LM = LN = 7 см. Ответ: две точки (вершины двух равносторонних треугольников со стороной 7 см на отрезке MN).
5.76. Проведите окружность с центром в точке O радиусом 1 см 5 мм (рис. 5.22). Отметьте такую точку P, чтобы OP = 3 см. Используя циркуль, постройте на окружности точки, удалённые от точки P на 25 мм.
Строим окружность с центром O радиусом 1,5 см и отмечаем P так, что OP = 3 см. Точки, удалённые от P на 25 мм = 2,5 см, лежат на окружности с центром P радиусом 2,5 см. Ставим иглу циркуля в P, раствор 2,5 см, проводим дугу: она пересекает исходную окружность в двух точках (так как 1,5 + 2,5 = 4 > 3 и 2,5 – 1,5 = 1 < 3). Эти две точки X и Y — искомые.
5.77. Отметьте точки M и N на расстоянии 8 см друг от друга. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами M и N так, чтобы они: а) имели одну общую точку; б) не имели общих точек; в) пересекались в двух точках.
Пусть радиус каждой окружности r, расстояние между центрами MN = 8 см. Окружности одинакового радиуса касаются, когда 2r = 8, и пересекаются, когда 2r > 8. а) Одна общая точка: r = 4 см (окружности касаются в середине отрезка MN). б) Нет общих точек: 2r < 8, то есть r < 4 см, например r = 3 см. в) Две общие точки: 2r > 8, то есть r > 4 см, например r = 5 см. Оговорка: в б) и в) радиус можно выбрать любой из указанных промежутков, на рисунках взяты 3 см и 5 см.
5.78. Для защиты во время шторма сложили из блоков стену длиной 4800 дм, шириной 48 дм и высотой 60 дм. Сколько блоков потребовалось для этого, если бетонный блок имеет длину 12 дм, ширину 4 дм и высоту 6 дм?
Вдоль длины стены укладывают 4800 : 12 = 400 блоков; по ширине 48 : 4 = 12 блоков; по высоте 60 : 6 = 10 блоков. Всего 400 · 12 · 10 = 48 000 (блоков). Проверка по объёмам: 4800 · 48 · 60 : (12 · 4 · 6) = 13 824 000 : 288 = 48 000. Ответ: 48 000 блоков.
5.79. Разбираемся в решении. Сколькими способами могут разместиться на скамейке 6 друзей?
Первого человека можно посадить на любое из 6 мест, второго — на любое из 5 оставшихся, третьего — на любое из 4, четвёртого — из 3, пятого — из 2, а последний занимает одно оставшееся место. Всего способов: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720. Ответ: 720 способов.
5.80.
1. На двух участках поровну кустов смородины. Если на каждый участок добавить ещё по 3 куста, то всего на них будет 34 куста смородины. Сколько кустов смородины на каждом участке?
2. В трёх корзинах поровну яблок. Если в каждую корзину добавить ещё по 6 яблок, то всего в них будет 120 яблок. Сколько яблок в каждой корзине?
1) Добавили 2 · 3 = 6 (кустов); значит, до добавления было 34 – 6 = 28 (кустов), на каждом участке 28 : 2 = 14 (кустов). Проверка: (14 + 3) · 2 = 34. Ответ: 14 кустов.
2. Добавили 3 · 6 = 18 (яблок); до добавления было 120 – 18 = 102 (яблока), в каждой корзине 102 : 3 = 34 (яблока). Проверка: (34 + 6) · 3 = 120. Ответ: 34 яблока.