Вопросы и задачи на повторение. Задачи — с. 164
П.35. Найдите корень уравнения: а) 26z + z – 20 = 61; б) 19x – 6x + 74 = 100; в) (13c – 8c) · 9 = 90; г) (7a + a) : 3 = 4.
а) 27z – 20 = 61; 27z = 81; z = 3. б) 13x + 74 = 100; 13x = 26; x = 2. в) 5c · 9 = 90; 45c = 90; c = 2. г) 8a : 3 = 4; 8a = 12; a = 1,5. Проверка: а) 26 · 3 + 3 – 20 = 61; б) 19 · 2 – 6 · 2 + 74 = 100; в) (26 – 16) · 9 = 90; г) (10,5 + 1,5) : 3 = 4.
П.36. Масса первого пакета с огурцами и помидорами 1,92 кг, а второго — 2,32 кг. Найдите массу огурца и массу помидора, если в каждом пакете по 6 огурцов, но в первом пакете 15 помидоров, а во втором — 20 помидоров. В пакетах лежат одинаковые огурцы и одинаковые помидоры.
Во втором пакете на 20 – 15 = 5 помидоров больше, а масса на 2,32 – 1,92 = 0,4 (кг) больше. Масса одного помидора: 0,4 : 5 = 0,08 (кг) = 80 г. В первом пакете помидоры весят 0,08 · 15 = 1,2 (кг), огурцы: 1,92 – 1,2 = 0,72 (кг). Масса одного огурца: 0,72 : 6 = 0,12 (кг) = 120 г. Проверка: во втором пакете 0,12 · 6 + 0,08 · 20 = 0,72 + 1,6 = 2,32. Ответ: огурец 120 г, помидор 80 г.
П.37. Стоимость 3 кг мытой моркови 96,6 р., а 5 кг немытой моркови 71,4 р. На сколько 1 кг мытой моркови дороже 1 кг немытой моркови?
1 кг мытой моркови: 96,6 : 3 = 32,2 (р.). 1 кг немытой: 71,4 : 5 = 14,28 (р.). Разница: 32,2 – 14,28 = 17,92 (р.) = 17 р. 92 к. Ответ: на 17 р. 92 к.
П.38. На дереве сидело в 4 раза меньше ворон, чем голубей. Пять голубей и четыре вороны улетели, но прилетели два голубя и семь ворон, и птиц на дереве стало 50. Сколько птиц было на дереве первоначально?
Пусть ворон было 1 часть, голубей 4 части, всего 5 частей. Изменение числа птиц: улетели 5 + 4 = 9, прилетели 2 + 7 = 9, то есть общее число птиц не изменилось. Значит, сначала было тоже 50 птиц. Проверка: ворон 10, голубей 40; после — 40 – 5 + 2 = 37 голубей и 10 – 4 + 7 = 13 ворон, 37 + 13 = 50. Ответ: 50 птиц.
П.39. Масса груза в упаковке равна 0,72 т. Найдите массу груза, если груз тяжелее упаковки в 8 раз.
Масса упаковки — 1 часть, груза — 8 частей, вместе (груз в упаковке) 9 частей = 0,72 т. 1 часть: 0,72 : 9 = 0,08 (т) — упаковка. Груз: 0,08 · 8 = 0,64 (т). Ответ: 0,64 т.
П.40. Лена на вопрос «Сколько тебе лет?» ответила: «Увеличив число моих лет в 4 раза, а потом ещё на 24, получим 68 лет». Сколько лет Лене?
Решаем с конца: 68 – 24 = 44; 44 : 4 = 11. Проверка: 11 · 4 + 24 = 68. Ответ: Лене 11 лет.
П.41. Два раза в год наступают сутки, когда ночь на 300 мин длиннее дня. Сколько времени длится ночь в эти сутки?
В сутках 24 ч = 1440 мин. Если ночь на 300 мин длиннее дня, то 2 дня + 300 мин = 1440 мин. День: (1440 – 300) : 2 = 570 (мин). Ночь: 570 + 300 = 870 (мин) = 14 ч 30 мин. Ответ: 14 ч 30 мин.
П.42. На уроке физкультуры лёгкоатлетические упражнения заняли в 2 раза больше времени, чем разминка. Сколько минут заняли упражнения, если на разминку потребовалось на 15 мин меньше, чем на упражнения?
Разминка — 1 часть, упражнения — 2 части; разность 2 – 1 = 1 часть равна 15 мин. Значит, разминка 15 мин, упражнения 15 · 2 = 30 (мин). Ответ: 30 мин.
П.43. На рисунке 2 изображены прямые, лучи, отрезки и окружность. а) Назовите лучи, отрезки и прямые, которые пересекаются. б) Какие лучи, отрезки и прямые пересекают окружность?
Прямых и лучей на рисунке нужно искать по стрелкам на концах; отрезки имеют точки на обоих концах. б) Окружность пересекает только отрезок EF: точка E лежит внутри круга, точка F — снаружи, поэтому отрезок пересекает окружность в одной точке. Отрезки AB и CD целиком лежат внутри окружности и её не пересекают; остальные фигуры (GH, MN, KL, RO, YZ, SR, TX, VW) расположены вне круга. а) Из фигур вне круга пересекаются луч RO и продолжение GH (в точке O, если GH считать лучом); остальные фигуры друг с другом не пересекаются. Оговорка: стрелки на концах фигур на скане почти не различимы, поэтому разделение на лучи, отрезки и прямые приблизительное; уверенно определяется только пересечение отрезка EF с окружностью.
П.44. а) Проведите прямую и отметьте точку на ней. Какие ещё фигуры вы получили? б) Проведите отрезок и отметьте две точки: лежащую и не лежащую на нём. в) Проведите два луча так, чтобы они пересекались; они не пересекались; один луч лежал на другом луче. г) Проведите прямую и отрезок так, чтобы они пересекались; они не пересекались; отрезок лежал на прямой.
а) Точка делит прямую на два луча с общим началом в этой точке (такие лучи называют дополнительными). Получилось два луча. б) Проводим отрезок AB, точку C ставим между A и B (она лежит на отрезке), точку D — вне отрезка. в) Пересекаются: два луча из разных точек, идущие навстречу друг другу под углом; не пересекаются: два луча, идущих в противоположные стороны (или параллельных); один луч на другом: луч с началом в точке O и луч с началом в другой точке этого же луча, идущий в ту же сторону. г) Пересекаются: отрезок с концами по разные стороны от прямой; не пересекаются: отрезок целиком по одну сторону от прямой, не доходя до неё; отрезок лежит на прямой: оба его конца лежат на прямой. Пример для а)–в) на рисунке.
П.45. На луче AB отметили точку C так, что длина отрезка AC равна 6 см. Сколько можно отложить на луче AB от точки C отрезков длиной: а) 2 см; б) 9 см?
От точки C на луче AB можно откладывать отрезки в двух направлениях: к началу A и от начала A. а) 2 см < 6 см, поэтому отрезок в сторону точки A помещается на луче (его конец окажется между A и C), и в сторону от A тоже: всего 2 отрезка. б) 9 см > 6 см, поэтому в сторону точки A отрезок не поместится (луч там кончается в точке A), и можно отложить только один отрезок — в сторону от A. Ответ: а) 2 отрезка; б) 1 отрезок.
П.46. Длины отрезков MN и PK равны (рис. 3). Сравните отрезки: а) NM и KP; б) MP и PN; в) MP и NK; г) MK и NP.
На рисунке 3 на одной прямой по порядку лежат точки M, N, P, K, при этом MN = PK. а) NM = MN, KP = PK, поэтому NM = KP. б) MP = MN + NP, значит, MP > PN (на длину MN). в) MP = MN + NP, NK = NP + PK; так как MN = PK, то MP = NK. г) MK = MN + NP + PK, значит, MK > NP. Ответ: а) NM = KP; б) MP > PN; в) MP = NK; г) MK > NP.