Вопросы и задачи на повторение. Вопросы — с. 160
В.15. Какие свойства (законы) сложения и умножения вы знаете?
Сформулируйте их.
Переместительный закон: от перестановки слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется: a + b = b + a; a · b = b · a. Сочетательный закон: (a + b) + c = a + (b + c); (a · b) · c = a · (b · c) — слагаемые (множители) можно группировать как удобно. Распределительный закон умножения: (a + b) · c = a · c + b · c.
В.16. Какое свойство называют распределительным законом умножения относительно сложения; вычитания?
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты: (a + b) · c = a · c + b · c. Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (a – b) · c = a · c – b · c.
В.17. Какое число называют чётным; нечётным?
Чётное число делится на 2 без остатка (оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8). Нечётное число на 2 без остатка не делится (оканчивается цифрой 1, 3, 5, 7 или 9).
В.18. Какое число называют делителем данного числа?
Делитель данного числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
В.19. Что такое кратное натурального числа?
Кратное натурального числа a — натуральное число, которое делится на a без остатка (то есть равно a · k при натуральном k). Например, кратные 5: 5, 10, 15, 20, …
В.20. Признаки делимости на какие числа вы знаете?
Сформулируйте их.
На 2: число делится на 2, если оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8). На 5: если оканчивается 0 или 5. На 10: если оканчивается 0. На 3: если сумма цифр делится на 3. На 9: если сумма цифр делится на 9.
В.21. Что значит разделить с остатком одно число на другое?
Разделить число a на число b с остатком — значит найти такие числа q (неполное частное) и r (остаток), что a = b · q + r, причём остаток r меньше делителя b. Например, 17 : 5 = 3 (остаток 2), так как 17 = 5 · 3 + 2.
В.22. Как найти делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток?
Надо делитель умножить на неполное частное и к произведению прибавить остаток: делимое = делитель · неполное частное + остаток. Например, при делителе 7, неполном частном 4 и остатке 3 делимое равно 7 · 4 + 3 = 31.
В.23. Что такое обыкновенная дробь?
Что выражает её знаменатель; числитель?
Обыкновенная дробь a/b (a и b — натуральные числа) показывает, что целое разделили на b равных частей (долей) и взяли a таких частей. Знаменатель b показывает, на сколько равных долей разделено целое; числитель a — сколько таких долей взято.
В.24. Какая дробь называется правильной; неправильной?
Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (она меньше 1), например 3/7. Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему (она не меньше 1), например 7/3 или 5/5.
В.25. Как сравнивают дроби с одинаковыми знаменателями?
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше; если числители равны, то дроби равны. Например, 5/9 > 4/9.
В.26. Как найти целую и дробную части неправильной дроби?
Что такое смешанная дробь (смешанное число)?
Надо разделить числитель на знаменатель с остатком: неполное частное — целая часть, остаток — числитель дробной части, знаменатель остаётся прежним. Например, 17/5 = 3 2/5. Смешанное число (смешанная дробь) — запись числа в виде суммы целой и дробной частей, например 3 2/5 = 3 + 2/5.
В.27. Как найти сумму и разность двух дробей?
Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним: 3/8 + 2/8 = 5/8. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Со смешанными числами действия выполняют отдельно с целыми и дробными частями (или обращают их в неправильные дроби).
В.28. Как найти произведение и частное двух дробей?
Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить числители и перемножить знаменатели: a/b · c/d = ac/bd (например, 2/3 · 4/5 = 8/15). Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю: a/b : c/d = a/b · d/c (например, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 5/6).
В.29. Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: a/b = (a · n)/(b · n) = (a : n)/(b : n). Применяется при сокращении дробей, приведении дробей к общему знаменателю, сравнении, сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
В.30. Какая дробь называется десятичной?
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д., записанная без знаменателя через запятую: 0,7 = 7/10; 3,25 = 3 25/100.
В.31. Изменится ли десятичная дробь, если к ней приписать справа нули?
Не изменится: 2,5 = 2,50 = 2,500. Не изменится она и при отбрасывании нулей в конце дробной части.
В.32. Как сравнивают десятичные дроби?
Сначала сравнивают целые части: больше та дробь, у которой целая часть больше. Если целые части равны, сравнивают десятые доли, затем сотые и т. д., пока не найдут первые несовпадающие цифры: больше та дробь, у которой эта цифра больше. Удобно уравнять число знаков после запятой, приписав нули. Например, 3,47 > 3,4 (3,47 > 3,40).
В.33. Как складывают и как вычитают десятичные дроби?
Записывают дроби в столбик так, чтобы запятая была под запятой (уравнивают число знаков после запятой нулями), складывают или вычитают как натуральные числа и в ответе ставят запятую под запятыми слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).
В.34. Как умножают десятичные дроби?
Умножают, не обращая внимания на запятые, как натуральные числа. В произведении отделяют запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Например, 1,2 · 0,03 = 0,036 (12 · 3 = 36, всего три знака после запятых).
В.35. Как разделить число на десятичную дробь?
Надо перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе (чтобы делитель стал натуральным числом), и выполнить деление на натуральное число. Например, 4,5 : 0,15 = 450 : 15 = 30.
В.36. Что значит округлить натуральное число или десятичную дробь до данного разряда?
Какие правила округления вы знаете?
Приведите примеры округления: а) натурального числа до миллиона; б) десятичной дроби до тысячных.
Округлить число до данного разряда — значит заменить его близким числом, у которого все цифры правее этого разряда нули (или отброшены). Правило: если первая отбрасываемая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в сохраняемом разряде оставляют без изменения; если 5, 6, 7, 8 или 9 — её увеличивают на 1. Примеры. а) 3 478 925 ≈ 3 000 000; 7 612 340 ≈ 8 000 000. б) 2,73468 ≈ 2,735; 0,41732 ≈ 0,417.
В.37. Что значит сравнить два отрезка?
Какие отрезки называют равными?
Сравнить два отрезка — значит узнать, какой из них длиннее, какой короче или они равны (наложением или измерением длин). Равными называют отрезки, которые совпадают при наложении (имеют одинаковую длину).
В.38. С помощью какого инструмента можно найти длину отрезка?
В каких единицах измеряется эта величина?
Длину отрезка измеряют линейкой. Единицы длины: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр (1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м).
В.39. Сколько прямых проходит через две точки?
Через две точки можно провести прямую, и притом только одну.
В.40. Какую фигуру называют углом?
Угол — это фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла) с общим началом (вершиной угла).
В.41. Назовите виды углов.
Острый угол (меньше 90°), прямой угол (равен 90°), тупой угол (больше 90°, но меньше 180°), развёрнутый угол (равен 180°).
В.42. Какие многоугольники вы знаете?
Треугольник, четырёхугольник (в частности, прямоугольник и квадрат), пятиугольник, шестиугольник и т. д. — по числу сторон (углов). Треугольники бывают остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, а также равнобедренные и равносторонние.
В.43. Какие фигуры называют равновеликими?
Равновеликими называют фигуры, имеющие равные площади (при этом сами фигуры могут иметь разную форму).
В.44. Что такое окружность?
Что такое центр окружности; радиус окружности?
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности. Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр с точкой окружности (а также длина этого отрезка).
В.45. Что такое круг?
Что такое сектор круга?
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью (окружность вместе со всеми точками внутри неё). Сектор круга — часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведёнными к концам этой дуги.
В.46. Что такое периметр многоугольника?
Каковы формулы периметра прямоугольника и периметра квадрата?
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Периметр прямоугольника со сторонами a и b: P = 2 · (a + b) (или 2a + 2b). Периметр квадрата со стороной a: P = 4a.
В.47. Что такое куб; прямоугольный параллелепипед?
Прямоугольный параллелепипед — многогранник, все шесть граней которого — прямоугольники (противоположные грани равны); у него 12 рёбер и 8 вершин. Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, то есть все шесть граней — равные квадраты.
В.48. Как найти площадь прямоугольника и площадь квадрата; объём прямоугольного параллелепипеда и объём куба?
Площадь прямоугольника со сторонами a и b: S = a · b. Площадь квадрата со стороной a: S = a · a = a². Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c: V = a · b · c. Объём куба с ребром a: V = a · a · a = a³.