§ 7. Инструменты для вычислений и измерений. 51. Измерение углов. Транспортир — с. 156
7.69. Вычислите (действия выполняются по цепочке): а) 8,1 – 0,9, : 8, · 0,2, + 0,22; б) 0,62 – 0,4, : 0,2, + 3,4, · 2; в) 4,8 : 6, · 5, · 0,4, : 0,8; г) 7 : 100, + 0,33, · 50, – 0,9; д) 1,25 · 2, : 5, + 1,2, · 0,3.
а) 8,1 – 0,9 = 7,2; 7,2 : 8 = 0,9; 0,9 · 0,2 = 0,18; 0,18 + 0,22 = 0,4. б) 0,62 – 0,4 = 0,22; 0,22 : 0,2 = 1,1; 1,1 + 3,4 = 4,5; 4,5 · 2 = 9. в) 4,8 : 6 = 0,8; 0,8 · 5 = 4; 4 · 0,4 = 1,6; 1,6 : 0,8 = 2. г) 7 : 100 = 0,07; 0,07 + 0,33 = 0,4; 0,4 · 50 = 20; 20 – 0,9 = 19,1. д) 1,25 · 2 = 2,5; 2,5 : 5 = 0,5; 0,5 + 1,2 = 1,7; 1,7 · 0,3 = 0,51. Ответы: 0,4; 9; 2; 19,1; 0,51.
7.70. Какие из углов на рисунке 7.21 прямые; развёрнутые?
Проверяем углы чертёжным треугольником. Прямые углы: ∠CBA, а также четыре угла в точке Q, образованные перпендикулярными прямыми ZY и XV: ∠XQY, ∠XQZ, ∠ZQV, ∠YQV. Развёрнутые углы (стороны лежат на одной прямой): ∠TOS, ∠NOL, ∠MOK, ∠ZQY, ∠XQV. Остальные углы (∠EDF — около 100°, ∠PQR — острый, углы при пересечении NL и MK, угол TQ с прямыми) не прямые и не развёрнутые. Оговорка: ответ получен проверкой по скану, углы около 90° определены приближённо.
7.71. Развивай мышление. Определите закономерность и найдите следующее число: а) числа в карточках (числитель сверху, знаменатель снизу): 2,3 / 0,6; 2,2 / 1,3; 2,1 / 2; 2 / 2,7; ?; б) 2,4 / 7,2; 3,6 / 1,2; 0,6 / 1,8; 0,9 / 0,3; ?.
а) Верхние числа уменьшаются на 0,1: 2,3; 2,2; 2,1; 2; значит, следующее 1,9. Нижние числа увеличиваются на 0,7: 0,6; 1,3; 2; 2,7; следующее 3,4. Следующая карточка: 1,9 / 3,4. б) Верхние числа: 2,4 → 3,6 (· 1,5) → 0,6 (: 6) → 0,9 (· 1,5) → дальше : 6, то есть 0,9 : 6 = 0,15. Нижние: 7,2 → 1,2 (: 6) → 1,8 (· 1,5) → 0,3 (: 6) → дальше · 1,5, то есть 0,3 · 1,5 = 0,45. Следующая карточка: 0,15 / 0,45. Проверка: отношения в карточках чередуются: 1/3; 3; 1/3; 3; следующее 1/3 = 0,15 : 0,45.
7.72.
1. На ферме на зиму было заготовлено 91 ц сена. В марте осталось 2/7 всего запаса, а остальное было скормлено животным. Сколько центнеров сена было скормлено животным?
2. В теплице собрали 52 кг огурцов. На продажу в магазин отправили 10/13 всех собранных огурцов, а остальные засолили. Сколько килограммов огурцов засолили?
1) Скормлено 1 – 2/7 = 5/7 запаса: 91 : 7 · 5 = 13 · 5 = 65 (ц). Ответ: 65 ц.
2. Засолили 1 – 10/13 = 3/13 всех огурцов: 52 : 13 · 3 = 4 · 3 = 12 (кг). Ответ: 12 кг.
7.73. а) На рисунке 7.22 найдите, используя чертёжный треугольник, острые, прямые и тупые углы. б) Измерьте углы транспортиром. Есть ли среди углов равные?
Рисунок 7.22 содержит три фигуры. Вершина O (лучи OK, ON, OM): ∠KON ≈ 70°, ∠NOM ≈ 35°, ∠KOM ≈ 105°. Вершина T (лучи TP, TQ, TR, TS): ∠PTR ≈ 15°, ∠RTS ≈ 20°, ∠PTS ≈ 35°, ∠QTP = 90°, ∠QTR ≈ 105°, ∠QTS ≈ 125°. Вершина Y (прямая ZYX и луч YV): ∠XYV ≈ 45°, ∠ZYV ≈ 135°, ∠ZYX = 180° (развёрнутый). а) Острые: ∠KON, ∠NOM, ∠PTR, ∠RTS, ∠PTS, ∠XYV. Прямой: ∠QTP. Тупые: ∠KOM, ∠QTR, ∠QTS, ∠ZYV. б) Равные углы: ∠NOM = ∠PTS (35°) и ∠KOM = ∠QTR (105°). Оговорка: измерение по скану даёт значения с разбросом в 2–4° (например, ∠PTS ≈ 37°, ∠KOM ≈ 103–104°), поэтому градусные меры округлены до 5°; у вас они могут отличаться на 1–3°.
7.74. Начертите углы ABC = 120° и DBC = 45° с общей стороной BC так, чтобы они лежали по одну сторону от неё. Найдите угол ABD.
Лучи BA и BD лежат по одну сторону от луча BC, и 45° < 120°, поэтому луч BD проходит внутри угла ABC. Тогда ∠ABD = ∠ABC – ∠DBC = 120° – 45° = 75°. Ответ: 75°.
7.75. Нарисуйте пятиугольник, измерьте транспортиром его углы и сложите результаты измерений.
Нарисуйте выпуклый пятиугольник и измерьте каждый из пяти углов. Пример измерений: 100°, 110°, 120°, 105°, 105°. Сумма: 100 + 110 + 120 + 105 + 105 = 540°. Для любого выпуклого пятиугольника сумма углов получается около 540° (с небольшой погрешностью измерений). Оговорка: ваши измерения зависят от нарисованной фигуры, 540° — ожидаемый результат.
7.76. В прямоугольнике KLMN проведите прямые KM и LN. Обозначьте точкой O пересечение прямых KM и LN. Измерьте транспортиром углы KOL, LOM, MON и NOK. Какие из этих углов равны?
Сумма каких углов равна 180°?
Пример: KL = 6 см, LM = 4 см. Диагонали KM и LN пересекаются в точке O. Измерения: ∠KOL ≈ 113°, ∠LOM ≈ 67°, ∠MON ≈ 113°, ∠NOK ≈ 67°. Равны вертикальные углы: ∠KOL = ∠MON и ∠LOM = ∠NOK. Сумма смежных углов равна 180°: ∠KOL + ∠LOM, ∠LOM + ∠MON, ∠MON + ∠NOK, ∠NOK + ∠KOL (113° + 67° = 180°). Оговорка: числа зависят от размеров вашего прямоугольника, равенства и суммы 180° верны всегда.
7.77. Начертите четырёхугольники ABCD и MNPQ. Измерьте транспортиром их углы, найдите сумму углов в каждом четырёхугольнике. Сделайте предположение о сумме углов в четырёхугольнике.
Пример: в ABCD углы 80°, 95°, 100°, 85°, сумма 80 + 95 + 100 + 85 = 360°; в MNPQ углы 70°, 110°, 90°, 90°, сумма 360°. Предположение: сумма углов любого (выпуклого) четырёхугольника равна 360°. Оговорка: из-за погрешности измерений ваша сумма может отличаться на 1–3°.