§ 6. Десятичные дроби. 48. Деление на десятичную дробь — с. 139
6.342. Выполните умножение: а) 0,1 · 0,1; б) 1,5 · 1,6; в) 0,4 · 0,7; г) 0,6 · 0,6; д) 0,09 · 0,7; е) 0,01 · 100; ж) 0,8 · 0,0001; з) 100 · 0,03; и) 0,2 · 0,2 · 0,2.
а) 0,01. б) 15 · 16 = 240; два знака: 2,40 = 2,4. в) 0,28. г) 0,36. д) 9 · 7 = 63; три знака: 0,063. е) 1. ж) 8 · 1 = 8; пять знаков: 0,00008. з) 3. и) 0,2 · 0,2 = 0,04; 0,04 · 0,2 = 0,008.
6.343. Чему равно: а) 0,3 числа 30; б) 0,5 числа 22; в) 0,1 числа 7,2; г) 1,5 числа 30; д) 0,43 числа 100; е) 0,01 числа 1000?
Умножаем число на дробь. а) 30 · 0,3 = 9. б) 22 · 0,5 = 11. в) 7,2 · 0,1 = 0,72. г) 30 · 1,5 = 45. д) 100 · 0,43 = 43. е) 1000 · 0,01 = 10.
6.344. Найдите значение выражения 4391,95n при n = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001.
Переносим запятую в числе 4391,95: при умножении на 10, 100, 1000 — вправо, при умножении на 0,1; 0,01; … — влево. n = 10: 43 919,5. n = 0,1: 439,195. n = 0,01: 43,9195. n = 100: 439 195. n = 0,001: 4,39195. n = 1000: 4 391 950. n = 0,00001: 0,0439195.
6.345. Подумайте, какие из чисел могут быть точными, какие — приближёнными: а) в самолёте 114 пассажиров; б) длина Волги 3500 км; в) у куба 8 вершин; г) в доме 9 этажей; д) население России 146 млн человек; е) площадь острова Сахалин 76,4 тыс. км²; ж) в бутылке 1 л молока; з) в электронной библиотеке 30 000 книг; и) одна пядь равна 4 вершкам, а вершок равен 4,45 см.
Точные числа получаются при счёте предметов или по определению; приближённые — при измерении и округлении. Точные: а) 114 пассажиров (счёт); в) 8 вершин куба; г) 9 этажей; и) «одна пядь равна 4 вершкам» (по определению). Приближённые: б) длина Волги (измерение, округление); д) население России (меняется и округлено до миллионов); е) площадь Сахалина (измерение, округление); и) длина вершка 4,45 см (измерение). Спорные: ж) 1 л молока в бутылке — это объём по маркировке, фактически налито чуть больше или меньше, поэтому обычно число приближённое; з) 30 000 книг в библиотеке — как правило, округлённое число, то есть приближённое. Оговорка: ответы на ж) и з) зависят от того, как понимать условие.
6.346. Найдите четыре значения n, при которых неравенство будет верным: а) 4,3 < n < 4,7; б) 5,5 < n < 5,7; в) 0,003 < n < 0,004; г) 0,07 < n < 0,071.
Подойдёт любое число между границами; для этого дописываем в границах нули. а) 4,3 < n < 4,7: например, 4,4; 4,5; 4,6; 4,35. б) 5,5 < n < 5,7: например, 5,6; 5,55; 5,65; 5,69. в) 0,003 < n < 0,004, то есть 0,0030 < n < 0,0040: например, 0,0031; 0,0035; 0,0032; 0,0039. г) 0,07 < n < 0,071, то есть 0,0700 < n < 0,0710: например, 0,0701; 0,0705; 0,0709; 0,0702.
6.347. Сравните, не вычисляя, значения выражений: а) 78 · 0,16 и (78 · 16) : 100; б) 0,037 · 0,3 и (37 · 3) : 10 000. Объясните полученный ответ.
а) Значения равны: 0,16 = 16/100, поэтому умножить на 0,16 — то же, что умножить на 16 и разделить на 100. б) Значения равны: 0,037 = 37/1000, 0,3 = 3/10, а 37/1000 · 3/10 = (37 · 3)/10 000. Общее правило: при умножении десятичных дробей умножаем числа без запятых и отделяем столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе. Проверка: а) 12,48 = 12,48; б) 0,0111 = 0,0111.
6.348. Округлите числа (таблица): 95,359; 8,735; 8,0927; 24,5682 — до целых, до десятых, до сотых.
Смотрим на первую отбрасываемую цифру: если она 5 или больше — последняя оставляемая цифра увеличивается на 1, иначе не меняется. До целых: 95; 9; 8;
25. До десятых: 95,4; 8,7; 8,1; 24,6. До сотых: 95,36; 8,74; 8,09; 24,57.
6.349. Найдите частное: а) 33,5 : 10; 47,8 : 10; 5,16 : 10; 7,3 : 10; б) 603 : 100; 36,7 : 100; 4,7 : 100; 0,5 : 100; 0,07 : 100; в) 167,3 : 14; 1,536 : 128; 0,4221 : 42; 234,6 : 345; 50,14 : 436.
а) Запятая влево на 1 знак: 3,35; 4,78; 0,516; 0,73. б) Запятая влево на 2 знака: 6,03; 0,367; 0,047; 0,005; 0,0007. в) Делим «уголком»: 167,3 : 14 = 11,95; 1,536 : 128 = 0,012; 0,4221 : 42 = 0,01005; 234,6 : 345 = 0,68; 50,14 : 436 = 0,115.
6.350. От автовокзала в 12 ч 25 мин отошёл автобус, а в 14 ч 40 мин в противоположном направлении отошёл другой автобус. Какое расстояние будет между автобусами через 2,4 ч после выезда второго автобуса, если скорость первого автобуса 72,4 км/ч, а скорость второго — 65,8 км/ч?
Второй автобус выехал на 14 ч 40 мин – 12 ч 25 мин = 2 ч 15 мин = 2,25 ч позже. К моменту, когда второй проехал 2,4 ч, первый был в пути 2,25 + 2,4 = 4,65 ч. Первый: 72,4 · 4,65 = 336,66 (км). Второй: 65,8 · 2,4 = 157,92 (км). Автобусы удаляются в противоположных направлениях: 336,66 + 157,92 = 494,58 (км). Ответ: 494,58 км.
6.351. Расстояние между двумя пристанями теплоход прошёл по течению реки за 1,8 ч, а затем вернулся обратно. Сколько времени затратил теплоход на обратный путь, если его собственная скорость равна 24 км/ч, а скорость течения — 2,4 км/ч?
Скорость по течению: 24 + 2,4 = 26,4 (км/ч). Расстояние между пристанями: 26,4 · 1,8 = 47,52 (км). Скорость против течения: 24 – 2,4 = 21,6 (км/ч). Время обратно: 47,52 : 21,6 = 2,2 (ч). Ответ: 2,2 ч (2 ч 12 мин).
6.352. Расходы фабрики на изготовление одной пары обуви составили 891,5 р. Найдите прибыль, полученную фабрикой от продажи 2,24 тыс. пар обуви по цене 1280 р. за пару.
Прибыль с одной пары: 1280 – 891,5 = 388,5 (р.). 2,24 тыс. = 2240 пар. Прибыль: 388,5 · 2240 = 870 240 (р.). Проверка: выручка 1280 · 2240 = 2 867 200 р.; расходы 891,5 · 2240 = 1 996 960 р.; разность 870 240 р. Ответ: 870 240 р.