§ 6. Десятичные дроби. 42. Сравнение десятичных дробей — с. 101
6.54. Запишите в виде десятичной дроби частное: а) 2003 : 10; б) 29 : 1000; в) 5 : 100; г) 13 590 : 1000; д) 3806 : 100.
Запятая в делимом сдвигается влево на столько знаков, сколько нулей в делителе. а) 200,3. б) 0,029. в) 0,05. г) 13,59. д) 38,06.
6.55. а) Найдите скорость движения теплохода, если скорость течения реки 5 км/ч, собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) 31 км/ч и теплоход идёт вниз по реке. б) Найдите скорость движения катера, если скорость течения 4 км/ч, а собственная скорость катера 16 км/ч и катер идёт вверх по реке.
а) Вниз по течению скорости складываются: 31 + 5 = 36 (км/ч). б) Вверх против течения скорость течения вычитается: 16 – 4 = 12 (км/ч). Ответ: а) 36 км/ч; б) 12 км/ч.
6.56.
1. Катер шёл с постоянной собственной скоростью сначала 3 ч вверх по реке, а затем 2 ч по озеру. Какое расстояние прошёл катер, если его скорость по озеру была 15 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч?
2. Теплоход шёл с постоянной собственной скоростью сначала 4 ч вниз по реке, а затем 2 ч по озеру. Какое расстояние прошёл теплоход, если его скорость по озеру была 25 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч?
На озере нет течения, поэтому скорость по озеру равна собственной скорости.
1. Вверх по реке: 15 – 3 = 12 (км/ч), за 3 ч 12 · 3 = 36 км. По озеру: 15 · 2 = 30 км. Всего 36 + 30 = 66 (км).
2. Вниз по реке: 25 + 2 = 27 (км/ч), за 4 ч 27 · 4 = 108 км. По озеру: 25 · 2 = 50 км. Всего 108 + 50 = 158 (км). Ответ: 1) 66 км; 2) 158 км.
6.57. Разложите число по разрядным слагаемым: а) 7031; б) 13 781 903; в) 9000; г) 136 000 200.
а) 7031 = 7000 + 30 + 1. б) 13 781 903 = 10 000 000 + 3 000 000 + 700 000 + 80 000 + 1000 + 900 + 3. в) 9000 = 9000. г) 136 000 200 = 100 000 000 + 30 000 000 + 6 000 000 + 200.
6.58. Найдите сумму: а) 8/13 + 3/13; б) 31/60 + 29/60; в) 18 + 4/19; г) 23 + 9/10; д) 2 7/9 + 8/9; е) 15 8/11 + 4 3/11; ж) 4 1/2 + 3 1/4; з) 5 1/7 + 3 20/21.
а) 11/13. б) 60/60 = 1. в) 18 4/19. г) 23 9/10. д) 2 15/9 = 3 6/9 = 3 2/3. е) 19 11/11 = 20. ж) 4 2/4 + 3 1/4 = 7 3/4. з) 5 3/21 + 3 20/21 = 8 23/21 = 9 2/21.
6.59. Найдите разность: а) 7 3/5 – 1 2/5; б) 28 6/13 – 7 1/13; в) 6 – 2/5; г) 21 – 5/9; д) 4 1/7 – 1 4/7; е) 12 2/5 – 1 4/5; ж) 4 1/2 – 3 1/4; з) 5 1/7 – 3 20/21.
а) 6 1/5. б) 21 5/13. в) 5 5/5 – 2/5 = 5 3/5. г) 20 9/9 – 5/9 = 20 4/9. д) 3 8/7 – 1 4/7 = 2 4/7. е) 11 7/5 – 1 4/5 = 10 3/5. ж) 4 2/4 – 3 1/4 = 1 1/4. з) 5 3/21 = 4 24/21; 4 24/21 – 3 20/21 = 1 4/21.
6.60.
1. Из посёлка вышел турист со скоростью 5 км/ч. Через 3 ч из того же посёлка вслед за ним выехал турист на самокате со скоростью 8 км/ч. Через сколько часов после выхода второго туриста они встретятся?
2. Автомобиль выехал из города со скоростью 50 км/ч. Через 2 ч из этого же города в том же направлении выехал другой автомобиль со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выезда второго автомобиля они встретятся?
1) За 3 ч первый турист прошёл 5 · 3 = 15 (км). Скорость сближения 8 – 5 = 3 (км/ч). Время: 15 : 3 = 5 (ч).
2. За 2 ч первый автомобиль проехал 50 · 2 = 100 (км). Скорость сближения 70 – 50 = 20 (км/ч). Время: 100 : 20 = 5 (ч). Ответ: 1) через 5 ч; 2) через 5 ч.
6.61. Сравните числа: а) 6,563 и 6,589; б) 18,705 и 18,69; в) 27,199 и 27,2; г) 7,601 и 7,602; д) 5,48 и 5,5; е) 3,84 и 0,1.
а) Десятые одинаковые, сотые 6 < 8: 6,563 < 6,589. б) 18,69 = 18,690; 705 > 690: 18,705 > 18,69. в) 27,2 = 27,200; 199 < 200: 27,199 < 27,2. г) 7,601 < 7,602. д) 5,5 = 5,50; 48 < 50: 5,48 < 5,5. е) 3,84 > 0,1 (целая часть 3 > 0).
6.62. Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы неравенство было верным: а) 0,?4 > 0,14; б) 0,2? < 0,27; в) 2,64 > 2,?8; г) 7,91 < 7,?1; д) 42,?3 > 42,52; е) 0,0001 < 0,00?1?
а) Нужны десятые больше 1, либо равные 1 с большими сотыми (4 = 4, равенство): подходят 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. б) Сотые меньше 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. в) Десятые меньше 6 (при ? = 6 имеем 2,64 < 2,68): 0, 1, 2, 3, 4, 5. г) Чтобы 7,?1 было больше 7,91, десятых должно быть больше 9, а такой цифры нет; при ? = 9 получаем 7,91 = 7,91. Значит, подходящей цифры нет. д) При ? = 5: 42,53 > 42,52 верно; при ? больше 5 тоже: 5, 6, 7, 8, 9. е) 0,00?1 > 0,0001 при ? ≥ 1: 1, 2, …, 9 (при ? = 0 числа равны). Оговорка: в г) условие, вероятно, напечатано так и задумано; цифры, удовлетворяющей неравенству, не существует.
6.63. Напишите два числа, меньшие: а) 0,01; б) 0,000001.
а) Например, 0,009 и 0,0099. б) Например, 0,0000009 и 0,0000005.
6.64. Отметьте на координатной прямой точки A(0,6), B(1,4), C(1,9), если единичный отрезок равен десяти клеткам тетради.
Единичный отрезок — 10 клеток, 0,1 — 1 клетка. От начала отсчёта вправо откладываем: A — 6 клеток; B — 14 клеток (10 + 4); C — 19 клеток (10 + 9). Масштаб рисунка: 1 клетка = 20 px.
6.65. Разложите по разрядным слагаемым числа 181 008 и 345 813 745.
181 008 = 100 000 + 80 000 + 1000 + 8. 345 813 745 = 300 000 000 + 40 000 000 + 5 000 000 + 800 000 + 10 000 + 3000 + 700 + 40 + 5.