§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 14. Деление с остатком — с. 95
3.148. Заполните таблицу. (Делимое a = 58 и неполное частное q = 3 во всех столбцах; остаток r = 13 в 1-м столбце, r = 10 во 2-м; в 3-м, 4-м и 5-м столбцах нужно найти b и r.) Могут ли быть другие случаи деления с остатком с делимым 58 и неполным частным 3?
Используем a = b · q + r, то есть 58 = 3b + r, причём остаток r меньше делителя b. 1-й столбец: 3b = 58 – 13 = 45; b = 15. 2-й столбец: 3b = 58 – 10 = 48; b = 16. Следующие делители: b = 17: 3 · 17 = 51, r = 58 – 51 = 7 (7 < 17 ✓). b = 18: 3 · 18 = 54, r = 4. b = 19: 3 · 19 = 57, r = 1. Эти значения заполняют 3-й, 4-й и 5-й столбцы. Других случаев нет: при b = 14 остаток 58 – 42 = 16 больше делителя (деление не закончено), а при b = 20 уже 3 · 20 = 60 > 58.
3.149. Укажите все возможные значения делителя и остатка. (Делимое a и неполное частное q: 57 и 5; 71 и 4; 156 и 7; 396 и 10; 83 и 8.)
Для каждого случая a = bq + r, где 0 ≤ r < b. Поэтому bq ≤ a < (b + 1)q. 1) a = 57, q = 5: b = 10 (r = 57 – 50 = 7) или b = 11 (r = 57 – 55 = 2). 2) a = 71, q = 4: b = 15 (r = 11), b = 16 (r = 7), b = 17 (r = 3). 3) a = 156, q = 7: b = 20 (r = 16), b = 21 (r = 9), b = 22 (r = 2). 4) a = 396, q = 10: b = 37 (r = 26), b = 38 (r = 16), b = 39 (r = 6). 5) a = 83, q = 8: b = 10 (r = 3) — единственный вариант.
3.150. Найдите остаток от деления: а) 548 на 9; б) 371 на 6; в) 293 на 10; г) 100 000 на 3; д) 224 на 100; е) 6140 на 78; ж) 10 744 на 56; з) 82 400 на 2700; и) 70 696 на 131.
а) 548 = 9 · 60 + 8, остаток 8. б) 371 = 6 · 61 + 5, остаток 5. в) 293 = 10 · 29 + 3, остаток 3. г) 100 000 = 3 · 33 333 + 1, остаток 1. д) 224 = 100 · 2 + 24, остаток 24. е) 6140 = 78 · 78 + 56, остаток 56. ж) 10 744 = 56 · 191 + 48, остаток 48. з) 82 400 = 2700 · 30 + 1400, остаток 1400. и) 70 696 = 131 · 539 + 87, остаток 87.
3.151. Сколько остатков и какие получатся при делении чисел на: 3; 5; 10; 15; 200?
Остаток меньше делителя, поэтому при делении на n возможны остатки 0, 1, 2, …, n – 1, то есть n разных остатков. На 3: 3 остатка (0, 1, 2). На 5: 5 остатков (0, 1, 2, 3, 4). На 10: 10 остатков (0, 1, …, 9). На 15: 15 остатков (0, 1, …, 14). На 200: 200 остатков (0, 1, …, 199).
3.152. Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток и проверьте равенство: а) 2791 = 36 · 76 + 55; б) 4897 = 68 · 71 + 69; в) 4986 = 4 · 1000 + 986.
Остаток должен быть меньше делителя, это подсказывает, какой из множителей — делитель. а) 36 · 76 = 2736; 2736 + 55 = 2791 ✓. Остаток 55 меньше 76, но больше 36, значит, делитель 76, неполное частное 36, делимое 2791, остаток 55. б) 68 · 71 = 4828; 4828 + 69 = 4897 ✓. Остаток 69 меньше 71, поэтому делитель 71, неполное частное 68, делимое 4897, остаток 69. в) 4 · 1000 = 4000; 4000 + 986 = 4986 ✓. Делитель 1000 (986 < 1000), неполное частное 4, делимое 4986, остаток 986.
3.153. Назовите несколько чисел, при делении которых: а) на 20 получается остаток 5; б) на 25 получается остаток 13.
Число = делитель · неполное частное + остаток. а) 20q + 5: 5 (q = 0), 25, 45, 65, 85, 105, … б) 25q + 13: 13, 38, 63, 88, 113, 138, …
3.154. Запишите наименьшее трёхзначное число, при делении которого на 14 получается остаток 3.
Число имеет вид 14q + 3. При q = 7: 14 · 7 + 3 = 101 — трёхзначное; при q = 6: 14 · 6 + 3 = 87 — двузначное. Ответ:
101. Проверка: 101 : 14 = 7 (ост. 3).
3.155. Найдите делимое, если делитель 43, неполное частное 0, а остаток 17.
a = b · q + r = 43 · 0 + 17 = 17. Делимое равно 17 (17 < 43, поэтому при делении на 43 неполное частное 0, остаток 17).
3.156. Длина перегона Крылатское — Строгино Московского метрополитена составляет 6615 м. Двигаясь с максимальной скоростью, электропоезд может пройти это расстояние за 5 мин, однако со средней скоростью проходит его примерно за 7 мин. Чему равна максимальная и средняя скорость движения электропоезда?
Максимальная скорость: 6615 : 5 = 1323 (м/мин) — это примерно 79 км/ч. Средняя скорость: 6615 : 7 = 945 (м/мин) — примерно 57 км/ч. Ответ: 1323 м/мин и 945 м/мин.
3.157. Требуется расфасовать 160 кг мандаринов в ящики вместимостью 12 кг. Сколько ящиков потребуется, чтобы разложить все мандарины?
160 : 12 = 13 (ост. 4): 13 ящиков заполнятся полностью, и ещё 4 кг останутся — для них нужен ещё один ящик. Ответ: 14 ящиков.
3.158. На счёте мобильного телефона Арины было 250 р. После разговора с подругой осталось 75 р. Сколько минут они разговаривали, если минута разговора стоила 2 р. 50 к.?
1) 250 – 75 = 175 (р.) — стоил разговор. 2) 2 р. 50 к. = 250 к., 175 р. = 17 500 к. 3) 17 500 : 250 = 70 (мин). Ответ: 70 мин (1 ч 10 мин).
3.159. Требуется оклеить обоями комнату, стены которой имеют площадь 78 квадратных метров. Сколько пачек обойного клея необходимо купить, если одной пачки хватает для оклейки 20—25 квадратных метров?
Если пачка рассчитана на 25 м², то 78 : 25 = 3 (ост. 3) — трёх пачек (75 м²) не хватит. Если на 20 м², то 78 : 20 = 3 (ост. 18) — тоже не хватит трёх. Значит, нужно 4 пачки, при любом расходе в 20—25 м² на пачку. Ответ: 4 пачки.
3.160. На круизном теплоходе 296 пассажирских мест и 84 места для экипажа. Какое наименьшее количество спасательных шлюпок должно быть на этом теплоходе, если одна шлюпка вмещает 70 человек?
1) 296 + 84 = 380 (человек) — всего на теплоходе. 2) 380 : 70 = 5 (ост. 30): 5 шлюпок вмещают 350 человек — не хватает на 30 человек. Нужна ещё одна шлюпка. Ответ: 6 шлюпок.