§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 12. Действие умножения. Свойства умножения — с. 83
3.31. Составьте выражение по условию задачи: а) Для отправки детей в лагерь заказали 7 автобусов. В каждом автобусе было x детей. Сколько детей отправилось в лагерь, если x = 25; x = 42? б) Сколько овощей перевезёт грузовик за 15 рейсов, если за один рейс он перевозит k т овощей?
Найдите значение выражения при k = 4; k = 25.
а) 7x детей. При x = 25: 7 · 25 = 175 (детей). При x = 42: 7 · 42 = 294 (ребёнка). б) 15k т. При k = 4: 15 · 4 = 60 (т). При k = 25: 15 · 25 = 375 (т).
3.32. Цена одного арбуза n р., а дыни m р. Что означает выражение: а) 4n; б) 5m; в) 6n + 3m; г) 14n – 3m; д) 5(n + m)?
а) 4n — стоимость 4 арбузов (р.). б) 5m — стоимость 5 дынь. в) 6n + 3m — стоимость покупки из 6 арбузов и 3 дынь. г) 14n – 3m — на сколько 14 арбузов стоят дороже, чем 3 дыни. д) 5(n + m) — стоимость 5 арбузов и 5 дынь, то есть пяти пар «арбуз и дыня».
3.33. Составьте задачу по выражению: а) (85 + 65) · 4; б) (75 – 50) · 3; в) 31 · 5 + 39 · 5; г) 93 · 6 – 71 · 5.
Задачи — образцы, годятся и другие сюжеты. а) В каждый из 4 одинаковых ящиков положили по 85 яблок и 65 груш. Сколько всего фруктов? (85 + 65) · 4 = 150 · 4 = 600. б) Три девочки собрали по 75 ромашек и отдали по 50. Сколько ромашек осталось у них вместе? (75 – 50) · 3 = 25 · 3 = 75. в) Купили 5 тетрадей по 31 р. и 5 альбомов по 39 р. Сколько заплатили? 31 · 5 + 39 · 5 = 155 + 195 = 350 (р.). г) Для 6 классов купили по 93 тетради, а для 5 классов — по 71 тетради. На сколько больше купили для первых шести классов? 93 · 6 – 71 · 5 = 558 – 355 = 203 (тетради).
3.34. Сколько существует способов подняться в крепость и спуститься из неё, если подниматься и спускаться надо по разным лестницам, а лестниц шесть?
Подняться можно по любой из 6 лестниц. Спускаться нужно по другой лестнице, значит, для спуска остаётся 5 вариантов. Всего 6 · 5 = 30 способов.
3.35. а) Какое из произведений меньше: 43 · 3 или 43 · 4?
Объясните почему. б) Объясните, почему 185 · 13 > 180 · 9. Сделайте вывод.
а) 43 · 3 меньше, чем 43 · 4. Второй множитель у 43 · 4 больше на 1, значит, к 43 · 3 прибавлено ещё одно число 43: 43 · 4 = 43 · 3 + 43. б) У произведения 185 · 13 оба множителя больше, чем у 180 · 9: 185 > 180 и 13 > 9. Поэтому 185 · 13 > 180 · 9 (проверка: 2405 > 1620). Вывод: если оба множителя одного произведения больше соответствующих множителей другого, то и произведение больше; сравнивать можно, не умножая.
3.36. Не выполняя умножения, расставьте в порядке убывания произведения: а) 59 · 23; б) 59 · 51; в) 13 · 23; г) 13 · 12; д) 73 · 51; е) 9 · 12.
Сравниваем множители. 73 · 51 (д) больше 59 · 51 (б): первый множитель больше. 59 · 51 (б) больше 59 · 23 (а): второй множитель больше. 59 · 23 (а) больше 13 · 23 (в). 13 · 23 (в) больше 13 · 12 (г). 13 · 12 (г) больше 9 · 12 (е). Порядок убывания: д), б), а), в), г), е). Проверка: 3723; 3009; 1357; 299; 156; 108.
3.37. Докажите, что: а) 30 · 40 < 33 · 45 < 40 · 50; б) 400 · 700 < 404 · 732 < 500 · 800; в) 1500 < 36 · 53 < 2400; г) 45 000 < 91 · 552 < 59 001.
Заменяем множители близкими круглыми числами. а) 30 < 33 < 40 и 40 < 45 < 50, поэтому 1200 < 33 · 45 < 2000 (на самом деле 1485). б) 400 < 404 < 500 и 700 < 732 < 800, поэтому 400 · 700 < 404 · 732 < 500 · 800. в) 30 · 50 = 1500 < 36 · 53, так как 36 > 30 и 53 > 50; 36 · 53 < 40 · 60 = 2400, так как 36 < 40 и 53 < 60. г) 91 · 552 > 90 · 500 = 45 000; 91 · 552 < 100 · 590 = 59 000 < 59 001.
3.38. Длина прямоугольника 18 см, а ширина 12 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.
S = 18 · 12 = 216 (см²). P = (18 + 12) · 2 = 60 (см).
3.39. а) В ящике 9 коробок по 8 упаковок мячей. В каждой упаковке 5 мячей. Сколько всего мячей в ящике?
Запишите двумя способами выражение для решения задачи. б) Подсолнухи посадили в 5 рядов. В каждом ряду по 3 лунки. В каждую лунку положили по два семечка. Сколько семечек использовали?
а) 1-й способ: (9 · 8) · 5 = 72 · 5 = 360 (мячей). 2-й способ: 9 · (8 · 5) = 9 · 40 = 360 (мячей). б) 5 · 3 · 2 = 30 (семечек).
3.40. Автомобиль ехал 4 ч со скоростью 75 км/ч. Какое расстояние он проехал?
75 · 4 = 300 (км). Ответ: 300 км.
3.41. Вычислите. а) 83 – 39, :4, ·7, +23; б) 94 – 19, :25, ·15, +55; в) 47 + 25, :18, ·12, –19; г) 71 + 19, :15, ·13, –28; д) 46 + 18, :16, ·25, –50.
а) 83 – 39 = 44; 44 : 4 = 11; 11 · 7 = 77; 77 + 23 = 100. б) 94 – 19 = 75; 75 : 25 = 3; 3 · 15 = 45; 45 + 55 = 100. в) 47 + 25 = 72; 72 : 18 = 4; 4 · 12 = 48; 48 – 19 = 29. г) 71 + 19 = 90; 90 : 15 = 6; 6 · 13 = 78; 78 – 28 = 50. д) 46 + 18 = 64; 64 : 16 = 4; 4 · 25 = 100; 100 – 50 = 50. Ответ: а) 100; б) 100; в) 29; г) 50; д) 50.
3.42. Восстановите цепочку вычислений. а) 57 → +12 → :3 → –16 → ·14 → :2 → +8 → 57; б) 25 → ·4 → –79 → ·3 → –31 → :4 → +17 → 25 (цепочки замкнуты в кольцо).
Числа в кружках считаем от известного числа по стрелкам. а) 57 + 12 = 69; 69 : 3 = 23; 23 – 16 = 7; 7 · 14 = 98; 98 : 2 = 49; 49 + 8 = 57 ✓ (кольцо замкнулось). б) 25 · 4 = 100; 100 – 79 = 21; 21 · 3 = 63; 63 – 31 = 32; 32 : 4 = 8; 8 + 17 = 25 ✓.
3.42 (продолжение). Кольцо б).
Заполненное кольцо б): 25 → 100 → 21 → 63 → 32 → 8 → 25.
3.43. Подберите корни уравнения: а) x + x = 48; б) y + y + y + 64 = 64; в) 2z – 1 = z + 3.
а) Два одинаковых слагаемых дают 48: 24 + 24 = 48, x = 24. б) Три одинаковых слагаемых плюс 64 равны 64 — значит, три y в сумме дают 0: y = 0. Проверка: 0 + 0 + 0 + 64 = 64. в) Пробуем z = 4: 2 · 4 – 1 = 7 и 4 + 3 = 7 — равенство верно, z = 4. Других корней нет: при увеличении z левая часть растёт быстрее правой.