§ 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. 11. Уравнение — с. 73
2.211. Найдите корни уравнения или убедитесь, что среди натуральных чисел их нет: а) x + 37 = 71; б) x – 37 = 71; в) 37 – x = 71; г) 71 + x = 37.
а) x = 71 – 37 = 34. б) x = 71 + 37 = 108. в) 37 – x = 71: вычитаемое x = 37 – 71, но из 37 нельзя вычесть 71 (разность 37 – x не больше 37, а должна быть 71) — среди натуральных чисел корня нет. г) 71 + x = 37: x = 37 – 71, а сумма 71 + x не меньше 71, поэтому равняться 37 она не может — корня среди натуральных чисел нет.
2.212. Решите уравнение: а) (x – 47) + 63 = 100; б) 120 – (x + 96) = 24; в) 48 + (56 – x) = 48; г) (90 – x) – 32 = 58.
а) x – 47 = 100 – 63 = 37; x = 37 + 47 = 84. Проверка: (84 – 47) + 63 = 100. б) x + 96 = 120 – 24 = 96; x = 96 – 96 = 0. Проверка: 120 – 96 = 24 (0 — не натуральное число, но уравнение с нулём решается). в) 56 – x = 48 – 48 = 0; x = 56. Проверка: 48 + 0 = 48. г) 90 – x = 58 + 32 = 90; x = 90 – 90 = 0. Проверка: (90 – 0) – 32 = 58.
2.213. Вычислите. а) 50 + 40, :30, ·50, –100; б) 30 + 70, :10, ·15, –150; в) 100 – 70, ·3, –18, :36; г) 100 – 80, :4, ·14, –67; д) 67 – 23, :11, ·25, –19.
Каждый столбец считаем сверху вниз по шагам. а) 50 + 40 = 90; 90 : 30 = 3; 3 · 50 = 150; 150 – 100 = 50. б) 30 + 70 = 100; 100 : 10 = 10; 10 · 15 = 150; 150 – 150 = 0. в) 100 – 70 = 30; 30 · 3 = 90; 90 – 18 = 72; 72 : 36 = 2. г) 100 – 80 = 20; 20 : 4 = 5; 5 · 14 = 70; 70 – 67 = 3. д) 67 – 23 = 44; 44 : 11 = 4; 4 · 25 = 100; 100 – 19 = 81. Ответ: а) 50; б) 0; в) 2; г) 3; д) 81.
2.214. Восстановите цепочку вычислений. а) □ → ·3 → ○ → –45 → ○ → :15 → ○ → ·17 → ○ → +49 → 100; б) □ → ·4 → ○ → +8 → ○ → :3 → ○ → –22 → ○ → :2 → 25.
Идём с конца, выполняя обратные действия (сложение заменяем вычитанием, умножение — делением и наоборот). а) 100 – 49 = 51; 51 : 17 = 3; 3 · 15 = 45; 45 + 45 = 90; 90 : 3 = 30. Проверка вперёд: 30 · 3 = 90; 90 – 45 = 45; 45 : 15 = 3; 3 · 17 = 51; 51 + 49 = 100. Начальное число — 30. б) 25 · 2 = 50; 50 + 22 = 72; 72 · 3 = 216; 216 – 8 = 208; 208 : 4 = 52. Проверка вперёд: 52 · 4 = 208; 208 + 8 = 216; 216 : 3 = 72; 72 – 22 = 50; 50 : 2 = 25. Начальное число — 52.
2.215. На координатной прямой отмечены точки M(22), B(7), K(31), D(27), N(20), O(0). Какие из этих точек лежат: а) правее точки N и на сколько единичных отрезков; б) левее точки M и на сколько единичных отрезков; в) между точками B и K?
Чем больше координата, тем правее точка. а) Правее N(20): M(22) — на 22 – 20 = 2 отрезка; D(27) — на 27 – 20 = 7 отрезков; K(31) — на 31 – 20 = 11 отрезков. б) Левее M(22): N(20) — на 22 – 20 = 2 отрезка; B(7) — на 22 – 7 = 15 отрезков; O(0) — на 22 отрезка. в) Между B(7) и K(31) лежат точки с координатами от 8 до 30: N(20), M(22) и D(27).
2.216. Что меньше и во сколько раз: а) три часа или сорок пять минут; б) двадцать килограммов или четыре центнера; в) восемь метров или сорок сантиметров?
Сначала выразим величины в одинаковых единицах. а) 3 ч = 180 мин; 180 : 45 = 4 — сорок пять минут меньше в 4 раза. б) 4 ц = 400 кг; 400 : 20 = 20 — двадцать килограммов меньше в 20 раз. в) 8 м = 800 см; 800 : 40 = 20 — сорок сантиметров меньше в 20 раз.
2.217. В бензобаке автомобиля было 36 л бензина. Во время поездки по городу израсходовали половину всего бензина, а во время поездки по трассе — ещё треть оставшегося бензина. Сколько литров бензина осталось в баке?
1) 36 : 2 = 18 (л) — израсходовали в городе и столько же осталось. 2) 18 : 3 = 6 (л) — израсходовали на трассе. 3) 18 – 6 = 12 (л) — осталось. Ответ: 12 л.
2.218. Установите закономерность и назовите пропущенное число. а) 15, 50, 10 / 13, ?, 12; б) 27, 20, 13 / 16, ?, 24.
а) Средняя клетка равна разности крайних, умноженной на 10: (15 – 10) · 10 = 50. Для второй строки (13 – 12) · 10 = 10. Пропущено число 10. б) Средняя клетка — среднее арифметическое крайних: (27 + 13) : 2 = 20. Для второй строки (16 + 24) : 2 = 20. Пропущено число 20.
2.219. Можно ли сравнить числа: а) 12?? и 11??; б) ??2? и 7??; в) ????? и ????; г) ?8? и 1???
Знак «?» заменяет любую цифру (первая цифра не 0). а) Можно: оба числа четырёхзначные, тысяч поровну, а сотен в первом 2, во втором 1: 12?? > 11??. б) Можно: ??2? — четырёхзначное, 7?? — трёхзначное, значит ??2? > 7??. в) Можно: ????? — пятизначное, ???? — четырёхзначное, поэтому ????? > ????. г) Нельзя: ?8? и 1?? — оба трёхзначные, и результат зависит от цифр (например, 183 < 189, а 983 > 189).
2.220. Разбираемся в решении. От Лысой горы, с которой Иван-царевич выпустил стрелу, до царства Кощея ведут три тропы, а от Кощеева царства до болота, в котором Царевна-лягушка поймала стрелу, выпущенную Иваном-царевичем, ведут четыре еле приметные стёжки-дорожки. Сколькими способами Иван-царевич может добраться до Царевны-лягушки, пройдя через царство Кощея?
Разобрано в учебнике: первую тропу можно выбрать тремя способами, и после каждой — четырьмя способами выбрать стёжку, поэтому 3 · 4 = 12. Ответ: 12 способов.