§ 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. 10. Числовые и буквенные выражения — с. 63
2.134. Отец старше сына на b лет. Сколько лет отцу, если сыну x лет?
Составьте выражение и найдите его значение при: а) x = 11, b = 33; б) x = 15, b = 40.
Отцу x + b лет. а) 11 + 33 = 44 года. б) 15 + 40 = 55 лет.
2.135. В 6 утра термометр показал температуру t °C, а к полудню температура поднялась на p °C. Какую температуру показывал термометр в полдень?
Составьте выражение и найдите его значение при: а) t = 19, p = 7; б) t = 15, p = 11.
В полдень температура t + p (°C). а) 19 + 7 = 26 °C. б) 15 + 11 = 26 °C.
2.136. Дочери c лет, а её мама на m лет старше. Сколько лет маме?
При любых ли значениях c и m задача имеет смысл?
Составьте выражение и найдите его значение при: а) c = 3, m = 21; б) c = 10, m = 25.
Маме c + m лет. а) 3 + 21 = 24 года. б) 10 + 25 = 35 лет. Задача имеет смысл не при любых c и m: возраст — натуральное число, поэтому c и m должны быть натуральными и разумными (например, m не может быть равно 1 или 150, а c + m — больше 100).
2.137. Цена куртки n р., а цена джинсов m р. Какой смысл имеет выражение: а) n – m; б) n + m; в) 25 000 – (n + m)?
а) n – m — на сколько рублей куртка дороже джинсов (при n ≥ m). б) n + m — стоимость куртки и джинсов вместе. в) 25 000 – (n + m) — сколько рублей останется от 25 000 р. после покупки куртки и джинсов.
2.138. На отрезке CD лежит точка M, как показано на рисунке 2.13 (CM = 4 см, CD = n см). Найдите отрезок MD, составив выражение, и вычислите его значение при n = 23; n = 8; n = 5.
MD = CD – CM = n – 4 (см). При n = 23: 23 – 4 = 19 см. При n = 8: 8 – 4 = 4 см. При n = 5: 5 – 4 = 1 см.
2.139. Периметр треугольника ABC равен p см. Найдите сторону AB треугольника, если BC = c см и AC = 10 см. Составьте выражение и вычислите его значение при: а) c = 8, p = 24; б) c = 9, p = 26.
AB = p – (c + 10) см. а) 24 – (8 + 10) = 24 – 18 = 6 см. б) 26 – (9 + 10) = 26 – 19 = 7 см.
2.140. Проведите координатную прямую и отметьте точки, как на рисунке 2.14 (O(0), E(1), B(b)). Отметьте на прямой точку M(b + 4) и точку N(b – 3).
Точка M(b + 4) лежит правее B на 4 единичных отрезка: от точки B отсчитываем 4 деления вправо. Точка N(b – 3) лежит левее B на 3 единичных отрезка: отсчитываем 3 деления влево. На рисунке показан образец при b = 8.
2.141. Проведите координатную прямую и отметьте точки, как на рисунке 2.15 (O(0), N(5), A(x)). Отметьте на прямой точку M(x + 5) и точку K(x – 5).
Точку M(x + 5) ставим правее A на 5 единичных отрезков, точку K(x – 5) — левее A на 5 единичных отрезков. Так как x > 5 (A правее N), точка K существует; на рисунке образец при x = 11.
2.142. С помощью букв m, n и k запишите свойство 2. Подставьте значения букв: m = 8946, n = 9637, k = 10 308 — и проверьте получившееся числовое равенство. Как называется это свойство сложения?
Свойство 2: m + (n + k) = (m + n) + k. Слева: 9637 + 10 308 = 19 945; 8946 + 19 945 = 28 891. Справа: 8946 + 9637 = 18 583; 18 583 + 10 308 = 28 891. Равенство верно. Это сочетательное свойство сложения.
2.143. С помощью букв m, n и k запишите свойство 4. Подставьте значения букв: m = 423, n = 254, k = 71 — и проверьте получившееся числовое равенство. Как называется это свойство?
Свойство 4: m – (n + k) = m – n – k (если m ≥ n + k). Слева: 423 – (254 + 71) = 423 – 325 = 98. Справа: 423 – 254 – 71 = 169 – 71 = 98. Равенство верно. Это свойство вычитания суммы из числа.
2.144. С помощью букв m, n и k запишите свойство 5 двумя способами. Подставьте значения букв: а) m = 76, n = 19, k = 46; б) m = 103, n = 108, k = 105. Проверьте получившиеся числовые равенства.
Свойство 5 (вычитание числа из суммы): (m + n) – k = m + (n – k), если n ≥ k, и (m + n) – k = (m – k) + n, если m ≥ k. а) Левая часть: (76 + 19) – 46 = 95 – 46 = 49. Первый способ не годится (n = 19 < k = 46); второй способ: (76 – 46) + 19 = 30 + 19 = 49 — верно. б) Левая часть: (103 + 108) – 105 = 211 – 105 = 106. Первый способ: 103 + (108 – 105) = 103 + 3 = 106 — верно. Второй способ не годится (m = 103 < k = 105).
2.145. а) Используя циркуль, отметьте точки A(n + m) и B(n – m) (рис. 2.16, а). б) Объясните смысл сочетательного свойства сложения, используя рисунок 2.16, б. в) Объясните остальные свойства сложения и вычитания, используя рисунки.
а) Раствором циркуля берём отрезок OM (длина m). Откладываем его от точки N(n) вправо — получаем A(n + m), и влево — получаем B(n – m) (рисунок). б) От точки M(m) шагаем вправо на k и получаем K, затем ещё на r и получаем R: m + k + r. То же самое можно сделать другим путём: сразу сдвинуться на сумму k + r. Оба пути приводят в одну точку R, значит m + (k + r) = (m + k) + r. в) Переместительное свойство: чтобы получить m + n, можно отложить от m отрезок n или от n отрезок m — приходим в одну точку. Нуль: сдвиг на 0 оставляет точку на месте (a + 0 = a, a – 0 = a), а сдвиг на a влево из точки a приводит в 0 (a – a = 0). Вычитание суммы из числа: a – (b + c): шаг влево сразу на b + c даёт тот же результат, что два шага влево на b, затем на c. Вычитание числа из суммы: (a + b) – c: шаг вправо на b и влево на c приводят в ту же точку, что и порядок «влево на c, вправо на b», или «шаг вправо на разность b – c».