§ 1. Натуральные числа и нуль. Шкалы. 4. Плоскость, прямая, луч, угол — с. 24
1.95. Отметьте точки K и L и проведите прямую KL. а) Отметьте точку P на прямой KL, не лежащую на отрезке KL. б) Отметьте на отрезке KL точку M. Лежит ли эта точка на прямой KL?
Проводим прямую через K и L. а) Точку P берём на прямой за концом L (или левее K): она на прямой, но вне отрезка KL (на рисунке P красная). б) Любая точка M отрезка KL лежит и на прямой KL, потому что отрезок — часть прямой. Ответ: да, лежит.
1.96. Проведите прямую и отметьте на ней точки M, B и C. Запишите все возможные обозначения прямой.
Прямую можно назвать по любым двум её точкам, порядок букв не важен: прямая MB, BM, MC, CM, BC, CB. (Это шесть записей одной и той же прямой.)
1.97. Проведите прямую и постройте на ней отрезок MN длиной 5 см. Отложите на прямой отрезок MK длиной 4 см так, чтобы точки N и K были по разные стороны от точки M. Есть ли на прямой MK точка, находящаяся от точки N на расстоянии 1 км?
Порядок точек на прямой: N, M, K, значит NK = 5 + 4 = 9 см. Прямая бесконечна, поэтому на ней есть точки на любом расстоянии от N, в том числе на расстоянии 1 км (две такие точки — по обе стороны от N). Ответ: да.
1.98. Проведите прямые AB, CD и MN, которые пересекаются в точке O. На сколько частей делят плоскость три пересекающиеся прямые?
Каждая прямая через точку O делит плоскость пополам, а три прямые, пересекающиеся в одной точке, образуют 6 углов. Плоскость делится на 6 частей.
1.99. Отметьте три точки M, N и K, не лежащие на одной прямой. На сколько частей делят плоскость прямые MN, MK и NK?
Три прямые, проведённые через пары точек, образуют треугольник. Плоскость делится на 7 частей: внутренняя часть треугольника, три части, примыкающие к сторонам, и три части, примыкающие к вершинам.
1.100. Назовите: 4 точки, 3 отрезка, 3 луча и прямую на рисунке 1.19.
На рисунке 1.19 на одной прямой лежат точки A, K, B, D. Точки: A, K, B, D. Отрезки: AK, KB, AB. Лучи: AK (из A через K), KD (из K через B), BA (из B через K). Прямая: AB (она же KD, AD и т. д.). (Возможны и другие правильные названия.)
1.101. Отложите на луче OM от его начала последовательно 4 отрезка, по 3 см каждый. Можно ли на этом луче отложить 1001 такой отрезок?
Откладываем OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = 3 см, тогда OA₄ = 12 см. Луч бесконечен, поэтому на нём можно отложить и 1001 такой отрезок (получится длина 1001 · 3 = 3003 см = 30 м 3 см). Ответ: да.
1.102. Вычислите. а) 27 + 3; 68 + 2; 71 + 9; 55 + 5; 34 + 26. б) 52 – 7; 36 – 9; 40 – 6; 23 – 8; 61 – 4. в) 9 · 8; 8 · 7; 9 · 9; 6 · 8; 7 · 0. г) 53 · 10; 60 · 10; 80 · 10; 1000 : 1000; 100 · 100. д) 45 : 9; 64 : 8; 49 : 7; 30 : 6; 48 : 8.
а) 30; 70; 80; 60; 60. б) 45; 27; 34; 15; 57. в) 72; 56; 81; 48; 0. г) 530; 600; 800; 1; 10 000. д) 5; 8; 7; 5; 6.
1.103. Заполните таблицу. (Уменьшаемое: 46, 37, —, 63, —, —; вычитаемое: 26, —, 30, —, —, 33; разность: —, 27, 25, —, 19, —.)
Первые три столбца находятся однозначно: 46 – 26 = 20; 37 – 10 = 27 (вычитаемое 37 – 27 = 10); 55 – 30 = 25 (уменьшаемое 25 + 30 = 55). В последних трёх столбцах данных не хватает (известно только одно число), поэтому подойдёт любой верный пример, например: 63 – 40 = 23; 50 – 31 = 19; 70 – 33 = 37.
1.104. Вычислите и объясните приём вычислений: а) 320 : 8; б) 1326 : 13; в) 400 · 7; г) 602 · 6.
а) 320 : 8 = 32 дес. : 8 = 4 дес. = 40. б) 1326 : 13 = (1300 + 26) : 13 = 100 + 2 = 102. в) 400 · 7 = 4 сот. · 7 = 28 сот. = 2800. г) 602 · 6 = 600 · 6 + 2 · 6 = 3600 + 12 = 3612.
1.105. Существуют ли два числа, разность которых равна их сумме?
Пусть числа a и b. Условие a – b = a + b выполняется, только если b = 0. Значит, да: например 7 и 0 (7 – 0 = 7 + 0 = 7). Для двух натуральных чисел это невозможно, потому что вычитание положительного числа уменьшает результат, а сложение увеличивает.
1.106. Найдите, сколько цифр будет в частном, не вычисляя его: а) 972 : 6; б) 3100 : 25; в) 11 514 : 38; г) 608 328 : 63.
Смотрим, сколько первых цифр делимого нужно взять, чтобы получить число, не меньшее делителя; остальные цифры делимого дают по одной цифре частного. а) 9 > 6, берём 1 цифру, остаётся 2 цифры: частное трёхзначное (162). б) 31 > 25, берём 2 цифры, остаётся 2: частное трёхзначное (124). в) 11 < 38, берём 3 цифры (115), остаётся 2: частное трёхзначное (303). г) 60 < 63, берём 3 цифры (608), остаётся 3: частное четырёхзначное (9656). Ответ: а) 3; б) 3; в) 3; г) 4 цифры.
1.107. Найдите сумму величин: а) 2 м 55 см и 1 м 20 см; б) 4 дм 12 см и 19 см; в) 7 м 70 см и 4 м 60 см; г) 3 км 250 м и 850 м.
а) 3 м 75 см. б) 4 дм 12 см = 52 см; 52 + 19 = 71 см = 7 дм 1 см. в) 11 м 130 см = 12 м 30 см. г) 3 км 1100 м = 4 км 100 м.
1.108. На прямой последовательно отметьте точки A, B, C и D так, чтобы AB = 4 см, BC = 1 см 5 мм и CD = 3 см 2 мм. Чему равно расстояние между точками A и D?
AD = AB + BC + CD = 4 см + 1 см 5 мм + 3 см 2 мм = 8 см 7 мм.
1.109. Выразите: а) в сантиметрах: 60 мм; 320 мм; 54 м; 600 м; б) в метрах: 400 см; 200 дм; 3 км; 6 км 50 м; 35 000 мм.
а) 6 см; 32 см; 5400 см; 60 000 см. б) 4 м; 20 м; 3000 м; 6050 м; 35 м.
1.110. Начертите шестиугольник ABCDEF. Отметьте точку K на стороне EF и точку L на стороне AB. Проведите отрезок KL. Назовите получившиеся многоугольники.
Отрезок KL с концами на сторонах AB и EF разрезает шестиугольник на две части. Одна часть — LBCDEK: шестиугольник (вершины L, B, C, D, E, K). Другая часть — LAFK: четырёхугольник (вершины L, A, F, K). Вместе с исходным шестиугольником ABCDEF на рисунке три многоугольника.