§ 4. Площади и объёмы. 24. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда — с. 152
4.154. а) Объём кабинета математики равен 120 м³, высота — 3 м, ширина — 5 м. Вычислите длину кабинета и площади пола, потолка и каждой стены. б) Вычислите объём своего классного кабинета. Сколько кубических метров воздуха приходится на одного ученика?
а) V = a · b · c, поэтому длина = 120 : (3 · 5) = 120 : 15 = 8 (м). Пол и потолок: 8 · 5 = 40 (м²) каждый. Две длинные стены 8 · 3 = 24 (м²) каждая, две короткие стены 5 · 3 = 15 (м²) каждая. Проверка: 8 · 5 · 3 = 120. б) Результат зависит от размеров вашего класса: измерьте длину, ширину и высоту, перемножьте и разделите на число учеников. Пример: класс 8 м × 6 м × 3 м: V = 8 · 6 · 3 = 144 (м³); при 25 учениках на одного приходится 144 : 25 = 5,76 (м³) ≈ 5 м³ 760 дм³. Оговорка: в б) числа взяты для примера, это измерительное задание.
4.155. Определите объём куба, ребро которого равно: а) 9 м; б) 4 дм 7 см; в) 1 дм 5 мм.
V = a³. а) 9³ = 729 (м³). б) 4 дм 7 см = 47 см; 47³ = 47 · 47 · 47 = 2209 · 47 = 103 823 (см³) = 103 дм³ 823 см³. в) 1 дм 5 мм = 105 мм; 105³ = 11 025 · 105 = 1 157 625 (мм³) = 1157 см³ 625 мм³.
4.156. Площадь поверхности куба равна 150 дм². Найдите, чему равен его объём.
У куба 6 равных граней: площадь одной грани 150 : 6 = 25 (дм²), значит, ребро 5 дм (5 · 5 = 25). Объём 5³ = 125 (дм³). Ответ: 125 дм³.
4.157. Выразите в кубических: а) миллиметрах: 6 см³ 724 мм³; 13 см³ 7 мм³; б) сантиметрах: 5 дм³ 430 см³; 6 дм³ 45 см³; в) метрах и дециметрах: 13 620 000 см³; 4590 дм³.
Используем 1 см³ = 1000 мм³, 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³. а) 6 см³ 724 мм³ = 6000 + 724 = 6724 мм³; 13 см³ 7 мм³ = 13 000 + 7 = 13 007 мм³. б) 5 дм³ 430 см³ = 5000 + 430 = 5430 см³; 6 дм³ 45 см³ = 6000 + 45 = 6045 см³. в) 13 620 000 см³ = 13 620 дм³ = 13 м³ 620 дм³; 4590 дм³ = 4 м³ 590 дм³.
4.158. Картонная коробка с какими измерениями вместительнее: 10 см, 9 см, 18 см или 6 см, 12 см, 15 см?
Сравним объёмы. Первая: 10 · 9 · 18 = 1620 (см³). Вторая: 6 · 12 · 15 = 1080 (см³). Так как 1620 > 1080, вместительнее первая коробка (10 × 9 × 18 см).
4.159. Длина бассейна 50 м, ширина 24 м, а глубина 2 м. а) Сколько кубометров воды нужно, чтобы наполнить бассейн? б) Сколько упаковок плитки размером 50 × 50 см понадобится, чтобы покрыть такой бассейн, если в упаковке 20 плиток?
а) V = 50 · 24 · 2 = 2400 (м³). б) Плиткой покрывают дно и четыре стенки (внутри). Дно 50 · 24 = 1200 (м²); две длинные стенки 2 · (50 · 2) = 200 (м²); две короткие стенки 2 · (24 · 2) = 96 (м²). Всего 1200 + 200 + 96 = 1496 (м²). Одна плитка 0,5 · 0,5 = 0,25 (м²), нужно 1496 : 0,25 = 5984 (плитки). Упаковок 5984 : 20 = 299 (ост. 4), значит, надо 300 упаковок. Ответ: а) 2400 м³; б) 300 упаковок. Оговорка: считаем, что плитки покрывают всё дно и стенки без запаса на подрезку.
4.160. Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей. а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей?
Объясните почему.
По рисунку: весь параллелепипед 10 × 7 × 12 см, нижняя часть 10 × 7 × 8 см, верхняя часть 10 × 7 × 4 см (8 + 4 = 12). а) V = 10 · 7 · 12 = 840 (см³); нижняя часть 10 · 7 · 8 = 560 (см³); верхняя 10 · 7 · 4 = 280 (см³). 560 + 280 = 840, значит, объём параллелепипеда равен сумме объёмов частей. б) S = 2 · (10 · 7 + 10 · 12 + 7 · 12) = 2 · (70 + 120 + 84) = 548 (см²); нижняя часть 2 · (70 + 80 + 56) = 412 (см²); верхняя 2 · (70 + 40 + 28) = 276 (см²). 412 + 276 = 688 ≠ 548. Не равны: когда параллелепипед разрезают, появляются две новые грани по 10 · 7 = 70 см² (сверху нижней части и снизу верхней), а внутри целого они не входят в поверхность: 548 + 2 · 70 = 688.
4.161. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 9 см, 4 см и 6 см.
Объём параллелепипеда 9 · 4 · 6 = 216 (см³). Ищем число, куб которого равен 216: 6³ = 216. Ребро куба 6 см.
4.162. Для строительства дома заказали деревянный брус размером 6000 × 200 × 100 мм. Какое целое количество штук такого бруса содержится в 1 м³?
Выразим размеры в метрах: 6 м, 0,2 м, 0,1 м. Объём одного бруса 6 · 0,2 · 0,1 = 0,12 (м³). 1 : 0,12 = 8 (ост. 0,04), то есть 8 целых брусьев (8 · 0,12 = 0,96 м³). В сантиметрах: 600 · 20 · 10 = 120 000 см³ у бруса, 1 м³ = 1 000 000 см³, 1 000 000 : 120 000 = 8 (ост. 40 000). Ответ: 8 штук.
4.163. Вычислите. а) 52 : 2; +24; :25; ·36; :18. б) 72 : 24; ·12; +34; :5; +56. в) 95 : 5; +56; :3; ·8; ·3. г) 96 : 3; +28; :4; ·5; :25. д) 84 : 28; ·18; +46; :20; ·3.
а) 26; 50; 2; 72;
4. Ответ: 4. б) 3; 36; 70; 14;
70. Ответ: 70. в) 19; 75; 25; 200;
600. Ответ: 600. г) 32; 60; 15; 75;
3. Ответ: 3. д) 3; 54; 100; 5;
15. Ответ: 15.
4.164. Найдите первое число цепочки. а) ?, –21, :7, ·14, +2, –10, итог 90. б) ?, :3, ·6, :5, ·4, +18, итог 90.
Идём с конца, выполняя обратные действия. а) 90 + 10 = 100; 100 – 2 = 98; 98 : 14 = 7; 7 · 7 = 49; 49 + 21 = 70. Первое число 70. Проверка: 70 – 21 = 49; 49 : 7 = 7; 7 · 14 = 98; 98 + 2 = 100; 100 – 10 = 90. б) 90 – 18 = 72; 72 : 4 = 18; 18 · 5 = 90; 90 : 6 = 15; 15 · 3 = 45. Первое число 45. Проверка: 45 : 3 = 15; 15 · 6 = 90; 90 : 5 = 18; 18 · 4 = 72; 72 + 18 = 90.
4.165. Вычислите: а) 3³ + 5²; б) 2³ + 6²; в) 5³ + 5; г) 10³ – 100.
а) 27 + 25 = 52. б) 8 + 36 = 44. в) 125 + 5 = 130. г) 1000 – 100 = 900. Оговорка: показатели степени в скане мелкие, прочитаны с увеличения.