§ 4. Площади и объёмы. 23. Прямоугольный параллелепипед — с. 149
4.141.
1. С двух станций метро навстречу друг другу движутся два поезда, и скорость одного из них на 50 м/мин меньше скорости другого. Сейчас расстояние между ними 6 км 200 м. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что они прибудут на одну станцию через 4 мин.
2. Два катера, двигаясь навстречу друг другу, должны встретиться через 6 мин. Сейчас расстояние между ними 4 км 380 м. Найдите скорости этих катеров, если известно, что скорость первого на 70 м/мин меньше скорости второго.
1) 6 км 200 м = 6200 м. За 4 мин поезда вместе проходят 6200 м, значит, скорость сближения 6200 : 4 = 1550 (м/мин). Если уравнять скорости (убрать лишние 50 м/мин у быстрого), останется 1550 – 50 = 1500 (м/мин), то есть две равные скорости: 1500 : 2 = 750 (м/мин) — скорость медленного; быстрого 750 + 50 = 800 (м/мин). Проверка: (750 + 800) · 4 = 6200. 2) 4 км 380 м = 4380 м. Скорость сближения 4380 : 6 = 730 (м/мин). Скорость первого (меньшего): (730 – 70) : 2 = 330 (м/мин); второго 330 + 70 = 400 (м/мин). Проверка: (330 + 400) · 6 = 4380. Ответ: 1) 750 м/мин и 800 м/мин; 2) 330 м/мин и 400 м/мин. (Совпадает с ответами в книге.)
4.142. Вычислите значение выражения:
1. (10 312 + 121 · 48) : (1224 – 976);
2. (34 · 141 + 12 678) : (1191 – 879).
1) 121 · 48 = 5808; 10 312 + 5808 = 16 120; 1224 – 976 = 248; 16 120 : 248 = 65. 2) 34 · 141 = 4794; 4794 + 12 678 = 17 472; 1191 – 879 = 312; 17 472 : 312 = 56. Ответ: 65 и 56. (Совпадает с ответами в книге.)
4.143. Составьте формулу для нахождения площади S поверхности куба с ребром a.
Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов со стороной a, площадь каждого a · a. Поэтому S = 6 · a · a = 6a².
4.144. Напишите формулу для вычисления суммы L длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, если его измерения a, b и c.
У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: по 4 ребра длиной a, b и c. Значит, L = 4a + 4b + 4c = 4 · (a + b + c).
4.145. Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер куба, если его ребро равно 7 дм.
Площадь поверхности S = 6 · 7 · 7 = 6 · 49 = 294 (дм²). У куба 12 рёбер, сумма их длин L = 12 · 7 = 84 (дм). Ответ: 294 дм² и 84 дм.
4.146. Найдите массу краски, необходимой для покраски деревянной детали (рис. 4.25), если расход краски на 1 см² поверхности равен 3 г.
Деталь (рис. 4.25) — две ступени: нижний брусок 4 × 6 × 3 см и поставленный на его заднюю часть брусок 4 × 3 × 3 см. Площадь поверхности нижнего бруска 2 · (4 · 6 + 4 · 3 + 6 · 3) = 2 · 54 = 108 (см²); верхнего 2 · (4 · 3 + 4 · 3 + 3 · 3) = 2 · 33 = 66 (см²). Склеены гранью 4 · 3 = 12 (см²), которая закрыта с обеих сторон: 108 + 66 – 2 · 12 = 150 (см²). Проверка по-другому: две боковые грани-«ступеньки» по 6 · 3 + 3 · 3 = 27 (см²), вместе 54 см²; остальная поверхность — прямоугольная лента шириной 4 см и длиной 6 + 6 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 см, то есть 96 см²; 54 + 96 = 150 см². Краски 150 · 3 = 450 (г). Ответ: 450 г. Оговорка: размеры прочитаны по рисунку (ширина 4 см, длина нижней ступени 6 см, высоты 3 см и 3 см, глубина верхней ступени 3 см); красят всю поверхность, включая нижнюю грань.
4.147. Найдите площадь и периметр прямоугольного фасада дома с длиной 105 м и высотой 27 м.
Площадь 105 · 27 = 2835 (м²). Периметр 2 · (105 + 27) = 2 · 132 = 264 (м). Ответ: 2835 м² и 264 м.
4.148. Максим догонял Антона на велосипеде со скоростью 215 м/мин, а Антон шёл со скоростью 90 м/мин. Через сколько минут Максим догонит Антона, если сейчас расстояние между ними равно 1 км 500 м?
Расстояние 1 км 500 м = 1500 м. Скорость сближения при движении вдогонку 215 – 90 = 125 (м/мин). Время 1500 : 125 = 12 (мин). Ответ: через 12 мин. (Совпадает с ответом в книге.)
4.149. Составьте схему вычисления выражения и найдите его значение: а) (24 · 258 : 43 + 4590 : 102 – 20) : 13; б) (372 + 118 · 6) : (38 · 35 – 34 · 37) – 12.
а) Порядок действий: 1) 24 · 258 = 6192; 2) 6192 : 43 = 144; 3) 4590 : 102 = 45; 4) 144 + 45 = 189; 5) 189 – 20 = 169; 6) 169 : 13 = 13. Ответ:
13. Схема нарисована ниже. б) Порядок действий: 1) 118 · 6 = 708; 2) 372 + 708 = 1080; 3) 38 · 35 = 1330; 4) 34 · 37 = 1258; 5) 1330 – 1258 = 72; 6) 1080 : 72 = 15; 7) 15 – 12 = 3. Ответ:
3. (Совпадает с ответами в книге.) Схема б): действия 1 → 2 и 3, 4 → 5 идут параллельно; действие 6 берёт результаты действий 2 и 5, действие 7 берёт результат действия 6.
4.149 (б). Схема вычисления выражения (372 + 118 · 6) : (38 · 35 – 34 · 37) – 12.
Схема показывает порядок действий; значение выражения 3.
4.150. Установите закономерность и найдите три следующих числа в ряду: а) 12, 14, 16, …; б) 3, 6, 12, 24, …; в) 1, 5, 25, …; г) 1, 4, 9, 16, …; д) 2, 5, 4, 8, 6, 11, …; е) 1, 8, 27, … .
а) Каждое число на 2 больше предыдущего: 18, 20, 22. б) Каждое число в 2 раза больше предыдущего: 48, 96, 192. в) Каждое число в 5 раз больше предыдущего (степени числа 5): 125, 625, 3125. г) Квадраты натуральных чисел 1², 2², 3², 4², …: 25, 36, 49. д) Ряд составлен из двух рядов, которые чередуются: на нечётных местах 2, 4, 6 (прибавляем 2), на чётных 5, 8, 11 (прибавляем 3). Следующие числа: 8, 14, 10. е) Кубы натуральных чисел 1³, 2³, 3³, …: 64, 125, 216.
Проверьте себя. Проверочная работа (п. 23). Волонтёры собрали подарки для детей к Новому году и сложили их в коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда размером 60 × 40 × 50 см. Грани коробки договорились заклеить обёрточной бумагой, а рёбра коробки украсить мишурой.
1. Сколько граней имеет коробка?
Сколько рёбер у коробки?
2. Найдите площадь каждой грани коробки.
3. Сколько метров мишуры понадобится для украшения коробки? 4*. В таблице представлены различные размеры обёрточной бумаги (40 × 70 — 50 р; 60 × 60 — 75 р; 50 × 50 — 50 р; 40 × 120 — 90 р). Выберите наиболее выгодный вариант покупки, чтобы оклеить бумагой все грани коробки (без нахлёста).
1. У коробки 6 граней и 12 рёбер.
2. Грани попарно равны: две грани 60 × 40 по 60 · 40 = 2400 (см²); две грани 60 × 50 по 60 · 50 = 3000 (см²); две грани 40 × 50 по 40 · 50 = 2000 (см²).
3. Мишура идёт на все рёбра: 4 · (60 + 40 + 50) = 4 · 150 = 600 (см) = 6 м.
4. Площадь всех граней 2 · (2400 + 3000 + 2000) = 14 800 (см²). Четыре грани имеют сторону 40 см: две 60 × 40 и две 40 × 50. Лист 40 × 120 за 90 р вмещает две грани 60 × 40 (60 + 60 = 120) или две грани 40 × 50 (50 + 50 = 100 ≤ 120). Значит, два листа 40 × 120 покрывают эти четыре грани за 2 · 90 = 180 (р) (лист 40 × 70 на одну такую грань стоил бы 50 р, четыре листа — 200 р). Две грани 60 × 50 помещаются только в лист 60 × 60 (75 р), два листа — 150 р. Всего 180 + 150 = 330 (р). Ответ: наиболее выгодно купить два листа 40 × 120 и два листа 60 × 60 за 330 р. Оговорка: расчёт при условии, что каждая грань оклеивается целым куском; если склеивать грани из обрезков встык, можно обойтись шестью листами 40 × 70 за 300 р, но грани получатся составными.