§ 4. Площади и объёмы. 23. Прямоугольный параллелепипед — с. 147
Вопросы после п. 23. Какие предметы дают представление о прямоугольном параллелепипеде?
Из каких фигур состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда?
Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?
Сколько пар противоположных граней у прямоугольного параллелепипеда?
Сколько у него рёбер; вершин?
Назовите рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из вершины F (см. рис. 4.20). Является ли куб прямоугольным параллелепипедом?
Представление о прямоугольном параллелепипеде дают классная комната, системный блок компьютера, брикет мороженого, обувная коробка, кирпич, спичечный коробок. Его поверхность состоит из 6 прямоугольников — граней. Измерения — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины: длина, ширина и высота (на рисунке 4.20 это a, b и c). У параллелепипеда 3 пары противоположных граней (противоположные грани равны): ABCD и EFGH, ABFE и DCGH, AEHD и BFGC. Рёбер 12, вершин 8. Из вершины F выходят три ребра: FB, FE и FG. Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы, значит, куб является прямоугольным параллелепипедом (его грани — 6 равных квадратов).
4.122. На рисунке 4.21 изображён куб. а) Назовите все грани, рёбра, вершины куба. б) Какие рёбра являются сторонами грани QRPX? в) Какие вершины принадлежат верхней грани? г) Какие рёбра равны ребру RS? д) Какие грани равны грани YQRS?
а) Вершины (8): Q, R, S, Y, X, P, Z, T. Грани (6): верхняя YQRS, нижняя TXPZ, передняя YSZT, задняя QRPX, левая QYTX, правая RSZP. Рёбра (12): верхние QR, RS, SY, YQ; нижние XP, PZ, ZT, TX; боковые QX, RP, SZ, YT. б) Стороны грани QRPX — рёбра QR, RP, PX и XQ. в) Верхней грани YQRS принадлежат вершины Q, R, S, Y. г) У куба все рёбра равны, поэтому ребру RS равны все остальные 11 рёбер: QR, SY, YQ, XP, PZ, ZT, TX, QX, RP, SZ, YT. д) У куба все грани — равные квадраты, поэтому грани YQRS равны остальные пять граней: TXPZ, YSZT, QRPX, QYTX, RSZP. Оговорка: буквы вершин прочитаны по рисунку (верхняя грань Q, R, S, Y; нижняя X, P, Z, T).
4.123. Найдите, сколько метров проволоки нужно для изготовления каркасов пяти прямоугольных параллелепипедов (рис. 4.22).
Каркас — это все 12 рёбер: по 4 ребра каждой из трёх длин (4 дм, 5 дм, 7 дм). Проволоки на один каркас 4 · (4 + 5 + 7) = 4 · 16 = 64 (дм). На пять каркасов 64 · 5 = 320 (дм) = 32 м. Ответ: 32 м.
4.124. Разбираемся в решении. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (т. е. сумму площадей его граней), если его измерения равны 4 дм, 7 дм и 5 дм.
Решение разобрано в учебнике; пересчитаем его. Площади граней: 4 · 7 = 28 (дм²); 4 · 5 = 20 (дм²); 7 · 5 = 35 (дм²). Противоположные грани равны, поэтому поверхность состоит из трёх пар равных граней: 2 · 28 + 2 · 20 + 2 · 35 = 56 + 40 + 70 = 166 (дм²). Ответ: 166 дм².