§ 4. Площади и объёмы. 23. Прямоугольный параллелепипед — с. 148
4.125. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны: а) 2 дм, 4 дм и 6 дм; б) 6 м, 7 м и 13 м.
Площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх разных граней. а) 2 · (2 · 4 + 2 · 6 + 4 · 6) = 2 · (8 + 12 + 24) = 2 · 44 = 88 (дм²). б) 2 · (6 · 7 + 6 · 13 + 7 · 13) = 2 · (42 + 78 + 91) = 2 · 211 = 422 (м²).
4.126. Из одинаковых блоков длиной 120 мм, шириной 90 мм и высотой 60 мм сложили фигуру, изображённую на рисунке 4.23. Найдите площадь поверхности этой фигуры.
На рисунке 4 блока: слева два блока лежат один на другом (каждый 120 × 90 × 60 мм), справа два блока поставлены друг на друга (основание 60 × 90 мм, высота 120 мм), и правая башня выше левой в 2 раза. Способ 1. Площадь поверхности одного блока 2 · (120 · 90 + 120 · 60 + 90 · 60) = 2 · (10 800 + 7200 + 5400) = 46 800 (мм²). У четырёх блоков 4 · 46 800 = 187 200 (мм²). Из этого вычтем площади соприкосновения, каждая считается дважды: левые блоки 120 · 90 = 10 800, правые блоки 60 · 90 = 5400, левая стопка с правой башней 120 · 90 = 10 800; всего 2 · (10 800 + 5400 + 10 800) = 54 000. Получаем 187 200 – 54 000 = 133 200 (мм²). Способ 2 (проверка): профиль фигуры — «ступенька» с площадью 120 · 120 + 60 · 240 = 28 800 (мм²), две такие стороны дают 57 600; периметр профиля 180 + 240 + 60 + 120 + 120 + 120 = 840 (мм), боковая поверхность 840 · 90 = 75 600; всего 57 600 + 75 600 = 133 200 (мм²). Ответ: 133 200 мм² = 1332 см². Оговорка: расположение блоков прочитано по рисунку.
4.127. Необходимо оклеить снаружи подарочную коробку без крышки. Длина коробки 35 см, ширина 20 см и высота 18 см. Какое наименьшее количество листов размером 30 × 21 см понадобится для этого?
Коробка без крышки: дно 35 · 20 = 700 (см²); две длинные стенки 2 · (35 · 18) = 1260 (см²); две короткие стенки 2 · (20 · 18) = 720 (см²). Всего 700 + 1260 + 720 = 2680 (см²). Лист 30 · 21 = 630 (см²). 2680 : 630 = 4 (ост. 160), значит, четырёх листов (2520 см²) мало, нужно 5 листов (3150 см²). Ответ: 5 листов. Оговорка: ответ получен по площади (листы можно резать и склеивать); для аккуратной оклейки без стыков может понадобиться больше.
4.128. Найдите площадь поверхности куба с ребром 6 дм.
У куба 6 равных граней-квадратов. Площадь одной грани 6 · 6 = 36 (дм²). Площадь поверхности 36 · 6 = 216 (дм²).
4.129. Комнату длиной 5 м, шириной 4 м и высотой 3 м требуется оклеить обоями. Рулон обоев имеет размеры 1 м в ширину и 10 м в длину. Какое наименьшее количество рулонов нужно закупить для оклейки комнаты, если в комнате есть окно площадью 3 м² и дверь площадью 2 м²?
Оклеиваем стены (потолок и пол не оклеиваем). Площадь стен 2 · (5 + 4) · 3 = 54 (м²). Вычтем окно и дверь: 54 – 3 – 2 = 49 (м²). Площадь рулона 1 · 10 = 10 (м²). 49 : 10 = 4,9, значит, нужно 5 рулонов (50 м²). Ответ: 5 рулонов. Оговорка: расчёт по площади; при подгонке рисунка и стыках на практике иногда берут запас, например 6 рулонов.
4.130. Составьте формулу площади S поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого: а) длина равна 8, ширина — 7, высота — h; б) длина равна 13, ширина — m, высота — h; в) длина равна n, ширина — m, высота — h; г) длина равна n, ширина и высота равны m; д) длина, ширина и высота равны n.
Общая формула: S = 2 · (a · b + a · c + b · c), где a, b, c — длина, ширина и высота. а) S = 2 · (8 · 7 + 8 · h + 7 · h) = 2 · (56 + 15h) = 112 + 30h. б) S = 2 · (13m + 13h + mh) = 26m + 26h + 2mh. в) S = 2 · (nm + nh + mh) = 2nm + 2nh + 2mh. г) S = 2 · (nm + nm + m · m) = 4nm + 2m². д) куб: S = 2 · (n² + n² + n²) = 6n².
4.131. Вычислите. а) 4 · 16; +11; :15; ·2; :2. б) 19 · 3; –9; :12; ·25; :50. в) 32 · 3; :48; ·15; ·3; :45. г) 4 · 14; +40; :48; ·35; :5. д) 2 · 26; –7; :3; ·6; :5.
а) 64; 75; 5; 10;
5. Ответ: 5. б) 57; 48; 4; 100;
2. Ответ: 2. в) 96; 2; 30; 90;
2. Ответ: 2. г) 56; 96; 2; 70;
14. Ответ: 14. д) 52; 45; 15; 90;
18. Ответ:
18. Оговорка: знаки действий в скане мелкие, прочитаны с увеличения.
4.132. Выполните действие деления: а) 5418 : 18; б) 3939 : 13; в) 6075 : 15; г) 3248 : 16; д) 2392 : 8.
а) 5418 : 18 = 301. б) 3939 : 13 = 303. в) 6075 : 15 = 405. г) 3248 : 16 = 203. д) 2392 : 8 = 299. Проверка умножением: 301 · 18 = 5418; 303 · 13 = 3939; 405 · 15 = 6075; 203 · 16 = 3248; 299 · 8 = 2392.
4.133. Сравните площади: а) 11 см² и 1 дм²; б) 40 м² и 4 а; в) 6 м² и 600 дм²; г) 3 км² и 2 га.
Переведём в одинаковые единицы. а) 1 дм² = 100 см², 11 см² < 100 см², значит, 11 см² < 1 дм². б) 4 а = 400 м², 40 м² < 400 м², значит, 40 м² < 4 а. в) 6 м² = 600 дм², значит, 6 м² = 600 дм². г) 3 км² = 300 га, 300 га > 2 га, значит, 3 км² > 2 га.
4.134. Чему равна сторона квадрата, если его площадь: а) 9 м²; б) 36 см²; в) 64 дм²; г) 1600 см²?
Сторона квадрата — число, квадрат которого равен площади. а) 3 м, так как 3 · 3 = 9. б) 6 см, так как 6 · 6 = 36. в) 8 дм, так как 8 · 8 = 64. г) 40 см, так как 40 · 40 = 1600 (40 см = 4 дм).
4.135. Какими могут быть длина и ширина прямоугольного участка, если его площадь равна 1 км²?
Приведите два примера.
1 км² = 1 000 000 м². Подходят любые длина и ширина, произведение которых равно 1 км². Пример 1: 1 км и 1 км (квадрат): 1 · 1 = 1 км². Пример 2: 2 км и 500 м (500 м = 0,5 км): 2 · 0,5 = 1 км²; в метрах 2000 · 500 = 1 000 000 м². Другие примеры: 4 км и 250 м; 10 км и 100 м.
4.136. Куб числа равен: а) 64; б) 1; в) 125. Найдите число, которое возвели в куб.
а) 4, так как 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. б) 1, так как 1³ = 1. в) 5, так как 5³ = 125.
4.137. В Великобритании, США, Канаде, Австралии применяется земельная мера акр, которая равна 4047 м². Сравните 1 а и 1 акр.
1 а = 100 м², 1 акр = 4047 м². 4047 : 100 = 40 (ост. 47), то есть 1 акр больше 1 а чуть более чем в 40 раз (примерно 40,5 а). Разность 4047 – 100 = 3947 (м²). Ответ: 1 акр больше 1 а, примерно в 40 раз.
4.138. Найдите площадь рамы окна на рисунке 4.24.
Рама — это внешний прямоугольник 76 см × 96 см без внутреннего прямоугольника (стекла) 60 см × 86 см. Площадь внешнего 76 · 96 = 7296 (см²), внутреннего 60 · 86 = 5160 (см²). Площадь рамы 7296 – 5160 = 2136 (см²). Ответ: 2136 см². Оговорка: размеры 76, 96 — внешние, 60, 86 — внутренние (по рисунку).
4.139. Оля, Лена, Даша, Полина и Зоя готовятся к прыжкам в длину. Сколькими способами они могут встать в очередь на выполнение прыжка?
Первой можно поставить любую из 5 девочек, второй — любую из 4 оставшихся, третьей — из 3, четвёртой — из 2, последней — одну. Число способов 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Ответ: 120 способов.
4.140. Иван Петрович и Пётр Иванович находятся на расстоянии 2 км 400 м и идут навстречу друг другу. Через сколько минут они встретятся, если скорость Ивана Петровича равна 85 м/мин, а Петра Ивановича — 75 м/мин?
Расстояние 2 км 400 м = 2400 м. Скорость сближения 85 + 75 = 160 (м/мин). Время до встречи 2400 : 160 = 15 (мин). Ответ: через 15 мин. (Совпадает с ответом в книге.)