§ 4. Площади и объёмы. 24. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда — с. 151
Вопросы после п. 24. Чему равен объём фигуры, которая состоит из 14 кубиков с ребром 1 дм каждый?
Что такое кубический миллиметр; кубический метр?
Что такое литр?
Сколько в нём кубических сантиметров?
По какой формуле вычисляют объём прямоугольного параллелепипеда?
Что означают в этой формуле буквы V, a, b и c?
По какой формуле вычисляют объём куба?
Могут ли равные фигуры иметь различные объёмы?
Объём фигуры из 14 кубиков с ребром 1 дм равен 14 дм³ (объём одного кубика 1 дм³). Кубический миллиметр (мм³) — объём куба с ребром 1 мм; кубический метр (м³) — объём куба с ребром 1 м. Литр — другое название кубического дециметра: 1 л = 1 дм³ = 1000 см³ (а кубический сантиметр называют ещё миллилитром: 1 мл = 1 см³). Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляют по формуле V = a · b · c: V — объём, a, b, c — три его измерения (длина, ширина, высота), то есть надо перемножить три измерения, выраженные в одинаковых единицах. Объём куба с ребром a: V = a · a · a = a³. Нет, равные фигуры не могут иметь разные объёмы: равные фигуры имеют равные объёмы.
4.151. На рисунке 4.30 показаны фигуры, составленные из кубиков с ребром 1 см. Чему равны объёмы и площади поверхностей этих фигур?
Объём фигуры равен числу кубиков (каждый 1 см³). Площадь поверхности: у каждого кубика 6 граней по 1 см², а каждое соприкосновение двух кубиков скрывает 2 грани, поэтому S = 6 · (число кубиков) – 2 · (число соприкосновений). A: 5 кубиков в ряд, 4 соприкосновения: S = 30 – 8 = 22. B: ряд из 4 кубиков и ещё один на правом краю, 4 соприкосновения: S = 30 – 8 = 22. C: стенка 2 × 2 из 4 кубиков (4 соприкосновения) и кубик спереди (1 соприкосновение): 5 кубиков, S = 30 – 10 = 20. D: 5 кубиков, 4 соприкосновения: S = 22. E: столбики высотой 2, 1, 2, 3 — всего 8 кубиков; соприкосновений 4 (по горизонтали: 1 + 1 + 2) и 4 (по вертикали: 1 + 0 + 1 + 2), всего 8: S = 48 – 16 = 32. F: параллелепипед 4 × 2 × 2 (16 кубиков) без одного углового кубика: 15 кубиков; убрав угловой кубик, площадь поверхности не меняется: 2 · (4 · 2 + 4 · 2 + 2 · 2) = 40. P: брусок 1 × 1 × 10: V = 10, S = 2 · (1 · 1 + 1 · 10 + 1 · 10) = 42. Q: пластина толщиной 1 см со ступеньками: столбики высотой 7, 7, 8 и семь столбиков высотой 10: V = 7 + 7 + 8 + 7 · 10 = 92; площадь двух больших сторон 2 · 92 = 184, периметр ступенчатого контура 10 + 10 + 7 + 2 + 1 + 1 + 2 + 7 = 40, значит, S = 184 + 40 = 224. R: куб 10 × 10 × 10 с небольшой выемкой у верхнего ребра (выбрано 3 кубика): V = 1000 – 3 = 997 (см³); выемка у ребра не меняет числа открытых граней, поэтому S = 6 · 10 · 10 = 600 (см²). Оговорка: фигуры прочитаны по рисунку; расположение кубиков в D, а также ступеньки Q и выемка в R видны нечётко — в R принято, что убраны 3 кубика (V = 997 см³), поэтому объём и площадь поверхности R получены с этой оговоркой.
4.152. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если: а) a = 7 см, b = 4 см, c = 10 см; б) a = 40 дм, b = 30 дм, c = 40 дм; в) a = 4 дм 2 см, b = 1 дм 3 см, c = 80 см; г) a = 9 м, b = 5 дм, c = 14 м; д) a = 13 м, b = 5 дм, c = 30 см.
Измерения надо выразить в одних единицах. а) V = 7 · 4 · 10 = 280 (см³). б) V = 40 · 30 · 40 = 48 000 (дм³) = 48 м³. в) a = 42 см, b = 13 см, c = 80 см: V = 42 · 13 · 80 = 43 680 (см³) = 43 дм³ 680 см³. г) b = 5 дм = 0,5 м; V = 9 · 0,5 · 14 = 63 (м³). (В дм: 90 · 5 · 140 = 63 000 дм³ = 63 м³.) д) в дм: a = 130 дм, b = 5 дм, c = 3 дм; V = 130 · 5 · 3 = 1950 (дм³) = 1 м³ 950 дм³.
4.153. Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда, если площадь его верхней грани равна 32 см², а объём — 224 см³.
Объём V = (площадь основания) · (высота), значит, высота h = V : S = 224 : 32 = 7 (см). Проверка: 32 · 7 = 224. Ответ: 7 см.