§ 4. Площади и объёмы. 22. Единицы измерения площадей — с. 145
4.106. Выполните действия: а) 4 · 7³ – 5 · 3³; б) (6² – 5²)³; в) 7! : 40; г) 3! + 3³; д) 5! – 5².
Напомним: n! (читается «эн факториал») — произведение всех натуральных чисел от 1 до n, например 3! = 1 · 2 · 3 = 6. а) 4 · 343 – 5 · 27 = 1372 – 135 = 1237. б) (36 – 25)³ = 11³ = 1331. в) 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040; 5040 : 40 = 126. г) 3! = 6; 3³ = 27; 6 + 27 = 33. д) 5! = 120; 5² = 25; 120 – 25 = 95. (Ответы сходятся с ответами в конце книги.)
4.107. Купили 100 плиток размером 15 × 30 см для ремонта пола в ванной комнате размером три с половиной метра на два. а) Хватит ли этих плиток для ремонта? б) Сколько целых плиток будет использовано при укладке пола? в) Какое количество плиток надо докупить, чтобы настелить весь пол?
Площадь пола 3,5 м · 2 м = 7 м² = 70 000 см² (350 · 200). Площадь одной плитки 15 · 30 = 450 (см²). а) Площадь 100 плиток 100 · 450 = 45 000 (см²) < 70 000 см², значит, плиток не хватит. б) По площади пол вмещает 70 000 : 450 = 155 (ост. 250), то есть 155 целых плиток и ещё часть одной (250 см²). в) Всего нужно 156 плиток (последнюю придётся подрезать), значит, докупить надо 156 – 100 = 56 плиток. Оговорка: расчёт идёт по площади; при реальной укладке из-за подрезки у стен понадобится немного больше.
4.108. По схеме на рисунке 4.18 составьте выражение и вычислите его значение.
По схеме: сумма 5017 + 89 делится на разность 643 – 574; результат складывается с 2580 и из суммы вычитается 56. Выражение: 2580 + (5017 + 89) : (643 – 574) – 56. Вычисление: 5017 + 89 = 5106; 643 – 574 = 69; 5106 : 69 = 74; 2580 + 74 = 2654; 2654 – 56 = 2598. Ответ: 2598.
4.109.
1. За три дня Дима прочитал 54 страницы книги. В первый день он прочитал в 2 раза больше, чем во второй, а в третий — на 6 страниц меньше, чем в первый. Сколько страниц читал Дима в каждый из этих дней?
2. Три садовых участка занимают площадь 36 соток. Первый участок в 3 раза меньше третьего, а второй участок на 1 сотку больше третьего. Сколько соток занимает каждый участок?
1) Пусть во второй день Дима прочитал x страниц, тогда в первый 2x, в третий 2x – 6. Всего x + 2x + (2x – 6) = 54, откуда 5x = 60, x = 12. Во второй день 12 страниц, в первый 24, в третий 24 – 6 = 18. Проверка: 24 + 12 + 18 = 54.
2. Пусть третий участок t соток, тогда первый t : 3, второй t + 1. Сумма t : 3 + t + (t + 1) = 36, откуда (t : 3) + 2t = 35. Три части третьего участка — это 3 части по t : 3, поэтому удобно взять первый участок за 1 часть: третий — 3 части, второй — 3 части и 1 сотка; всего 1 + 3 + 3 = 7 частей и 1 сотка = 36, значит, 7 частей = 35, одна часть 5. Первый участок 5 соток, третий 5 · 3 = 15 соток, второй 15 + 1 = 16 соток. Проверка: 5 + 16 + 15 = 36.
4.110. Выполните действия: 1) 34 560 : 12 : 8 : 24; 2) 116 424 : 56 : 21 : 9; 3) 81 · 5520 : 27 : 18; 4) 296 192 : 89 : 64 · 35.
1) 34 560 : 12 = 2880; 2880 : 8 = 360; 360 : 24 = 15. 2) 116 424 : 56 = 2079; 2079 : 21 = 99; 99 : 9 = 11. 3) 81 · 5520 = 447 120; 447 120 : 27 = 16 560; 16 560 : 18 = 920. 4) 296 192 : 89 = 3328; 3328 : 64 = 52; 52 · 35 = 1820. (Ответы совпадают с ответами в конце книги.)
4.111. Ширина прямоугольного участка 53 м, а его длина на 17 м больше ширины. Вычислите периметр и площадь участка.
Длина 53 + 17 = 70 (м). Периметр (53 + 70) · 2 = 246 (м). Площадь 53 · 70 = 3710 (м²). Ответ: 246 м и 3710 м².
4.112. Длина сада прямоугольной формы 400 м, а ширина 300 м. Найдите площадь сада и выразите её в арах; в гектарах.
Площадь 400 · 300 = 120 000 (м²). Так как 1 а = 100 м², то 120 000 : 100 = 1200 (а). Так как 1 га = 10 000 м², то 120 000 : 10 000 = 12 (га). Ответ: 120 000 м² = 1200 а = 12 га.
4.113. Выразите: а) в квадратных сантиметрах: 8 дм² 26 см²; 4 м² 6 см²; б) в арах: 5 га 72 м²; 3 км² 24 га; 33 км² 81 га 7 м²; 8 км² 21 м².
а) 8 дм² 26 см² = 800 см² + 26 см² = 826 см². 4 м² 6 см² = 40 000 см² + 6 см² = 40 006 см². б) 1 га = 100 а, 1 км² = 100 га = 10 000 а, 100 м² = 1 а. 5 га 72 м² = 500 а + 72 м² = 500 а 72 м² (то есть 500,72 а). 3 км² 24 га = 300 га + 24 га = 324 га = 32 400 а. 33 км² 81 га 7 м² = 3300 га + 81 га = 3381 га = 338 100 а, плюс 7 м²: 338 100 а 7 м² (338 100,07 а). 8 км² 21 м² = 800 га = 80 000 а, плюс 21 м²: 80 000 а 21 м² (80 000,21 а). Оговорка: в первом и четвёртом примерах остаток в м² меньше 1 а (100 м²), поэтому в целых арах он не выражается; записаны остаток и десятичная дробь.
4.114. На поле площадью 3 га выращивают тюльпаны. Сколько сортов тюльпанов выращивают на поле, если на каждый сорт выделено: а) 15 соток; б) 25 а?
3 га = 300 а = 300 соток. а) 300 : 15 = 20 (сортов). б) 300 : 25 = 12 (сортов). Ответ: 20 сортов; 12 сортов.
4.115. С конвейера старого поколения в час сходит 32 автомобиля, а с конвейера нового поколения — на 20 автомобилей больше. Сколько нужно времени, чтобы с конвейера старого поколения сошло столько же автомобилей, сколько их сходит за восьмичасовую смену с конвейера нового поколения?
Новый конвейер выпускает 32 + 20 = 52 (автомобиля в час). За 8 ч: 52 · 8 = 416 (автомобилей). Старому конвейеру нужно 416 : 32 = 13 (ч). Ответ: 13 ч.
4.116. Найдите периметр треугольника, у которого длина первой стороны 5 м 4 см, второй — втрое короче, а третьей — на 1 м 16 см больше разности длин первой и второй сторон.
Первая сторона 5 м 4 см = 504 см. Вторая 504 : 3 = 168 (см). Разность первой и второй 504 – 168 = 336 (см). Третья 336 + 116 = 452 (см) (1 м 16 см = 116 см). Периметр 504 + 168 + 452 = 1124 (см) = 11 м 24 см. Проверка существования треугольника: 504 < 168 + 452 = 620, значит, такой треугольник есть. Ответ: 11 м 24 см.
4.117. Составьте формулу для вычисления фигуры, изображённой на рисунке 4.19. Вычислите площадь при a = 10 см, b = 6 см, c = 2 см.
Фигура — прямоугольник со сторонами a и b, из которого вырезан квадрат со стороной c. Площадь: S = a · b – c · c, или S = a · b – c². При a = 10, b = 6, c = 2: S = 10 · 6 – 2 · 2 = 60 – 4 = 56 (см²).
4.118. Первый печатный станок печатает в час 15 тыс. листов, а второй на 3 тыс. листов меньше. Сколько времени потребуется второму станку на работу, которую выполняет первый станок за 8 ч?
Второй станок печатает 15 – 3 = 12 (тыс. листов в час). Первый за 8 ч печатает 15 · 8 = 120 (тыс. листов). Второму нужно 120 : 12 = 10 (ч). Ответ: 10 ч. (Совпадает с ответом в книге.)