§ 4. Площади и объёмы. 22. Единицы измерения площадей — с. 144
4.98. Не вычисляя, определите, сколько сотен получится в частном: а) 3069 : 9; б) 2584 : 8; в) 3927 : 11; г) 6590 : 5.
Делим число сотен делимого. а) 3069 — это 30 сотен и 69 единиц; 30 : 9 = 3 (ост. 3), в частном 3 сотни (3069 : 9 = 341). б) 25 сотен : 8 = 3 (ост. 1), в частном 3 сотни (2584 : 8 = 323). в) 39 сотен : 11 = 3 (ост. 6), в частном 3 сотни (3927 : 11 = 357). г) 65 сотен : 5 = 13, в частном 13 сотен (6590 : 5 = 1318).
4.99. Всегда ли верно: а) равные фигуры имеют равные периметры; б) некоторые неравные фигуры имеют равные площади; в) любой квадрат является прямоугольником; г) некоторые прямоугольники являются квадратами; д) если прямоугольники равновелики, то они равны?
а) Верно: равные фигуры можно наложить друг на друга, значит, их границы совпадают и периметры равны. б) Верно: прямоугольники 1 × 4 и 2 × 2 имеют площадь 4 см², но не равны. в) Верно: у квадрата все углы прямые, то есть он прямоугольник (с равными сторонами). г) Верно: прямоугольник с равными сторонами — квадрат. д) Неверно: прямоугольники 1 × 6 и 2 × 3 равновелики (6 см²), но не равны.
4.100. Десятина — старорусская мера площади. Такую площадь имел квадрат со стороной, равной десятой части версты. Сравните десятину с 1 га.
Верста — старая русская мера длины, примерно 1067 м (500 саженей). Десятая часть версты ≈ 106,7 м. Площадь квадрата ≈ 106,7 · 106,7 ≈ 11 380 (м²) ≈ 1,14 га. Значит, десятина немного больше гектара (примерно на 1380 м², то есть на 14 соток). Оговорка: длина версты взята из справочных данных, в учебнике она не указана.
4.101. Прямоугольник MNPK разбит на два треугольника (рис. 4.14). Найдите площадь треугольника KPN, если: а) MN = 6 м 75 см, MK = 64 м; б) MN = 9 дм 5 см, MK = 15 дм 8 см.
Диагональ KN делит прямоугольник на два равных треугольника, поэтому площадь треугольника KPN равна половине площади прямоугольника. а) 6 м 75 см = 6,75 м; площадь прямоугольника 6,75 · 64 = 432 (м²); площадь треугольника 432 : 2 = 216 (м²). (В сантиметрах: 675 · 6400 = 4 320 000 см², половина 2 160 000 см² = 216 м².) б) 9 дм 5 см = 95 см, 15 дм 8 см = 158 см; площадь прямоугольника 95 · 158 = 15 010 (см²); площадь треугольника 15 010 : 2 = 7505 (см²) = 75 дм² 5 см².
4.102. На рисунке 4.15 изображена фигура PRSKLN. а) Найдите площади и периметры трёх частей, на которые разбита эта фигура. б) Найдите площадь и периметр всей фигуры. в) Равна ли площадь фигуры сумме площадей её частей? г) Равен ли периметр фигуры сумме периметров её частей?
Объясните свой ответ.
Размеры: PO = RS = 3 см, PR = OS = 3 см, KS = 2 см, KL = SM = ON = 4 см, MN = SO = 3 см (из чертежа). Части: квадрат PRSO со стороной 3 см; прямоугольник KLMS 4 × 2 см; прямоугольник SMNO 4 × 3 см. а) Площади: 3 · 3 = 9 (см²); 4 · 2 = 8 (см²); 4 · 3 = 12 (см²). Периметры: 4 · 3 = 12 (см); (4 + 2) · 2 = 12 (см); (4 + 3) · 2 = 14 (см). б) Площадь фигуры 9 + 8 + 12 = 29 (см²). Периметр: PR + RS + SK + KL + LN + NP = 3 + 3 + 2 + 4 + 5 + 7 = 24 (см) (LN = 2 + 3 = 5 см, PN = 3 + 4 = 7 см). в) Да, площадь фигуры равна сумме площадей частей: 9 + 8 + 12 = 29. г) Нет: 12 + 12 + 14 = 38 см, а периметр фигуры 24 см. Отрезки SM (4 см) и SO (3 см) лежат внутри фигуры и входят в периметры двух частей каждый, а в периметр всей фигуры не входят: 24 + 2 · (4 + 3) = 38.
4.103. а) Сколько квадратов на рисунке 4.16?
Запишите равные квадраты. б) Разделите прямоугольник AEZV на две равные фигуры, состоящие из квадратов, тремя способами.
Прямоугольник AEZV разделён на 4 столбца и 2 ряда, то есть на 8 маленьких одинаковых квадратов. а) Маленьких квадратов 8: ABLK, BCML, CDNM, DEON, KLWV, LMXW, MNYX, NOZY — все они равны. Квадраты 2 × 2: ACXV, BDYW, CEZX — их 3, и они тоже равны между собой. Всего 8 + 3 = 11 квадратов. б) Три способа: 1) разрезать по отрезку CX на два квадрата ACXV и CEZX (по 4 клетки); 2) разрезать по отрезку KO на две полосы AEOK и KOZV (по 4 клетки в ряд); 3) разрезать по ломаной D–N–L–W: одна фигура — верхний ряд из трёх клеток ABCD…NL и клетка слева внизу (4 клетки), вторая — клетка справа вверху и три клетки нижнего ряда (4 клетки); эти фигуры равны (одна получается поворотом другой на 180°). Оговорка: сетка прочитана по рисунку, способ 3 — один из возможных ступенчатых разрезов.
4.104. На рисунке 4.17 изображены фигуры. Найдите их площади.
Левая фигура — треугольник ABC: основание AB = 5 + 3 = 8 см, высота 6 см; S = 8 · 6 : 2 = 24 (см²). Средняя фигура DEFK — трапеция с основаниями DE = 5 см и KF = 3 см и высотой 4 см (то есть прямоугольник 5 × 4 без треугольника с катетами 2 и 4 см): S = (5 + 3) · 4 : 2 = 16 (см²); проверка: 5 · 4 – 2 · 4 : 2 = 20 – 4 = 16. Правая фигура — трапеция KLMN: нижнее основание 2 + 3 + 4 = 9 см, верхнее 3 см, высота 4 см; S = (9 + 3) · 4 : 2 = 24 (см²); проверка по частям: 2 · 4 : 2 + 3 · 4 + 4 · 4 : 2 = 4 + 12 + 8 = 24. Ответ: 24 см², 16 см², 24 см². Оговорка: в средней фигуре размер 5 см отнесён ко всей верхней стороне DE (так согласуется масштаб рисунка).
4.105. Одновременно навстречу друг другу выползли две улитки. Одна ползёт со скоростью 7 см/мин, а другая — 5 см/мин. Через сколько минут улитки встретятся, если расстояние между ними 192 см?
Придумайте и решите похожую задачу: а) про два станка, которые должны изготовить 192 детали, если один штампует в минуту 7 деталей, а другой — 5 деталей; б) про двух братьев, которые должны покрасить 192 м забора; в) про двух комбайнёров, которые должны убрать пшеницу на 192 га.
Скорость сближения улиток 7 + 5 = 12 (см/мин). Время до встречи 192 : 12 = 16 (мин). Ответ: через 16 мин. а) Станки работают вместе: 7 + 5 = 12 (деталей в минуту); 192 : 12 = 16 (мин). б) Братья красят забор с двух концов навстречу друг другу: старший красит 7 м в час, младший — 5 м в час; вместе 7 + 5 = 12 (м/ч); 192 : 12 = 16 (ч). в) Один комбайнёр убирает 7 га в день, другой — 5 га в день; вместе 12 га в день; 192 : 12 = 16 (дней). Оговорка: в б) и в) числа скоростей придуманы нами по образцу условия.