§ 4. Площади и объёмы. 21. Площадь. Формула площади прямоугольника — с. 140
4.65. Сколько можно составить различных вариантов расписания на четверг для пятиклассников, если у них в этот день пять уроков: математика, физкультура, история, литература, ОБЖ?
На первое место ставим любой из 5 уроков, на второе — любой из 4 оставшихся, на третье — из 3, на четвёртое — из 2, на пятое — последний: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 вариантов.
4.66. а) Пассажирский поезд проезжает за час 55 км, а поезд «Сапсан» — в 5 раз больше. На сколько больше проедет поезд «Сапсан», чем пассажирский поезд, за 3 ч? б) Ручка стоит 55 р., а альбом в 5 раз дороже. На сколько 3 альбома дороже 3 ручек? в) Ученик за день делает 55 деталей, а мастер — в 5 раз больше. На сколько деталей больше сделает мастер, чем ученик, за 3 дня?
Сравните решения этих задач.
а) «Сапсан» проезжает за час 55 · 5 = 275 (км); за 3 ч: 275 · 3 = 825 (км); пассажирский — 55 · 3 = 165 (км); разница 825 – 165 = 660 (км). б) Альбом 55 · 5 = 275 (р.); 3 альбома 825 р., 3 ручки 165 р.; разница 660 р. в) Мастер делает 275 деталей в день, за 3 дня 825; ученик 165; разница 660 деталей. Сравнение: все три задачи имеют одно и то же решение (55 · 5 – 55) · 3 = 660, несмотря на разный сюжет: скорость · время, цена · количество, производительность · время — это одна и та же формула «произведение».
4.67.
1. От города до озера 138 км. Сколько времени затратил рыбак на дорогу туда и обратно, если до озера он ехал на автобусе, а возвращался на электричке?
Скорость автобуса равна 46 км/ч, а электрички — 69 км/ч.
2. Расстояние между домом и музыкальной школой 1152 м. Опаздывая, Катя бежала в школу со скоростью 128 м/мин, а обратно шла со скоростью 64 м/мин. Сколько времени потратила Катя на дорогу туда и обратно?
1) Время на автобусе 138 : 46 = 3 (ч); на электричке 138 : 69 = 2 (ч); всего 3 + 2 = 5 (ч).
2. Время в школу 1152 : 128 = 9 (мин); обратно 1152 : 64 = 18 (мин); всего 9 + 18 = 27 (мин). Ответ: 1) 5 ч; 2) 27 мин.
4.68. Найдите значение выражения:
1. (5782 : 413 + 27) · (1608 : 134 – 7) – 150; 2) 245 + (8802 : 326 + 24) · (4608 : 384 – 8).
1) 5782 : 413 = 14; 14 + 27 = 41; 1608 : 134 = 12; 12 – 7 = 5; 41 · 5 = 205; 205 – 150 = 55. 2) 8802 : 326 = 27; 27 + 24 = 51; 4608 : 384 = 12; 12 – 8 = 4; 51 · 4 = 204; 245 + 204 = 449. Ответ: 55; 449.
4.69. Длина участка, имеющего форму прямоугольника, равна 48 м, а его ширина в 3 раза меньше. Чему равна площадь этого участка?
Ширина 48 : 3 = 16 (м). Площадь 48 · 16 = 768 (м²). Ответ: 768 м².
4.70. Под огород отведён участок прямоугольной формы площадью 216 м². Чему равна ширина огорода, если его длина 18 м?
Из S = ab получаем b = S : a = 216 : 18 = 12 (м). Ответ: 12 м.
4.71. Начертите прямоугольник KLMN со сторонами 8 см и 4 см. Проведите отрезок LN. Чему равны площади треугольников NKL и LMN?
Площадь прямоугольника 8 · 4 = 32 (см²). Диагональ LN делит его на два равных треугольника NKL и LMN, поэтому площадь каждого 32 : 2 = 16 (см²). Построение: начертите отрезки KL = 8 см, LM = 4 см под прямым углом, достройте до прямоугольника и соедините L и N.
4.72. В квадрате MNSO со стороной 6 см проведены отрезки MS и NO. а) Найдите площадь каждого из четырёх получившихся треугольников. б) Из двух треугольников сложили новый квадрат. Найдите его площадь.
а) Площадь квадрата 6 · 6 = 36 (см²). Диагонали MS и NO разбивают его на 4 равных треугольника: 36 : 4 = 9 (см²) каждый. б) Новый квадрат из двух таких треугольников (прямые углы в вершинах прилегают к сторонам) имеет площадь 9 · 2 = 18 (см²).
4.73. По формуле пути s = vt найдите: а) расстояние, которое пролетит пуля за 6 с со скоростью 400 м/с; б) время, за которое карась проплывёт 216 см со скоростью 27 см/с; в) скорость кенгуру, который за 7 с преодолел 105 м.
а) s = 400 · 6 = 2400 (м). б) t = 216 : 27 = 8 (с). в) v = 105 : 7 = 15 (м/с).
4.74. По формуле периметра прямоугольника P = 2(a + b) найдите: а) периметр P, если a = 4 м 5 дм, b = 2 м 3 см; б) сторону a, если P = 5 см, b = 12 мм.
а) a = 4 м 5 дм = 450 см; b = 2 м 3 см = 203 см; a + b = 653 см; P = 2 · 653 = 1306 см = 13 м 6 см. б) P = 5 см = 50 мм; 50 = 2(a + 12); a + 12 = 25; a = 13 мм.
4.75. От пристани в 14:00 отплыл теплоход, а через 1 ч вслед за ним вышел другой теплоход. Чему будет равно расстояние между ними в 19:00 того же дня, если скорость первого теплохода 30 км/ч, а скорость второго — 15 км/ч?
Первый теплоход плыл с 14:00 до 19:00, то есть 5 ч: 30 · 5 = 150 (км). Второй вышел в 15:00 и плыл 4 ч: 15 · 4 = 60 (км). Расстояние между ними 150 – 60 = 90 (км). Ответ: 90 км.
4.76. Выразите: а) в дециметрах: 4 км; 4 км 70 м; 400 см; 80 000 см; б) в сантиметрах: 2 м; 5 м 8 дм; 600 мм; 90 000 м.
а) 4 км = 40 000 дм; 4 км 70 м = 4070 м = 40 700 дм; 400 см = 40 дм; 80 000 см = 8000 дм. б) 2 м = 200 см; 5 м 8 дм = 580 см; 600 мм = 60 см; 90 000 м = 9 000 000 см.
4.77. Вычислите: (55 + 14 445 : 321) · (319 – 283).
14 445 : 321 = 45; 55 + 45 = 100; 319 – 283 = 36; 100 · 36 = 3600. Ответ: 3600.
4.78. Развивай воображение. На рисунке 4.10, а изображены фигуры, сложенные из кубиков, а на рисунке 4.10, б показан их вид сверху. Что неверно на рисунке б?
Что надо в нём изменить?
Сравниваем фигуры. Оранжевая фигура из 3 кубиков (уголок): на виде сверху 3 квадрата уголком — верно. Розовая фигура на рисунке а) состоит из 3 кубиков (один сзади и два впереди), а на рисунке б) нарисован квадрат 2 × 2, то есть 4 клетки, да ещё повёрнутый на 45°. Это неверно: надо нарисовать вид сверху из трёх квадратов, расположенных так же, как кубики (уголок), без поворота. Зелёную фигуру нужно сверить число клеток с числом кубиков на рисунке а) — у верхних кубиков столбик на виде сверху должен быть расположен там, где стоят кубики. Оговорка: рисунок мелкий, главное несоответствие — розовая фигура (3 кубика и 4 клетки).