§ 4. Площади и объёмы. 21. Площадь. Формула площади прямоугольника — с. 138
4.38. Назовите равные многоугольники на рисунке 4.5.
Фигуры равны, если совпадают при наложении. По рисунку (на глаз, с учётом поворотов): равны A и L (прямоугольник с двумя вырезами-зубцами); D, E и K (прямоугольник с одним треугольным вырезом); B и F (прямоугольники); G и C (трапеции). Оговорка: фигуры повёрнуты, сравнение сделано по форме и размерам на рисунке, при необходимости проверьте наложением вырезанных по контуру фигур.
4.39. Равны ли листы этого учебника?
Почему?
Да, равны: листы учебника одного формата (одинаковой длины и ширины), и при наложении друг на друга они совпадают. Так как равные фигуры совпадают при наложении, листы равны (с точностью до небольших неровностей обрезки).
4.40. Равны ли стёкла одной оконной рамы?
Ответ зависит от рамы. Если створки одинаковые (по ширине и высоте), то стёкла равны — их можно совместить наложением. Но в раме могут быть разные створки (например, форточка и большая створка), тогда стёкла не равны. Чтобы проверить, надо измерить стёкла или приложить одно к другому.
4.41. Чему равны площади фигур P, Q и R на рисунке 4.6, если сторона каждой клетки равна 1 дм?
Площадь равна числу клеток (каждая клетка — 1 дм²). Фигура P: верхняя часть 2 строки по 4 клетки = 8 клеток; ниже 2 клетки и ещё 3 клетки; всего 8 + 2 + 3 = 13, площадь 13 дм². Фигура Q: верхний ряд 3 клетки (одна пропущена) и нижний ряд 4 клетки: 3 + 4 = 7, площадь 7 дм². Фигура R: 1 + 3 + 5 = 9 клеток, площадь 9 дм². (Клетки сосчитаны по рисунку.)
4.42. Вычислите площадь фигуры, изображённой на рисунке 4.7, если длина стороны каждой клетки равна 1 см, пользуясь алгоритмом:
1. Подсчитайте, сколько полных клеток занимает фигура.
2. Подсчитайте, сколько она занимает неполных клеток.
3. Полученное количество неполных клеток разделите на 2.
4. Сложите результаты команд 1 и 3.
Читаем рисунок: фигура — семиугольник с вершинами в узлах сетки.
1. Полных клеток 5.
2. Неполных клеток 4 (две у верхней вершины и две у нижних скошенных углов). 3. 4 : 2 = 2. 4. 5 + 2 = 7. Площадь фигуры примерно 7 см²; проверка вычислением по координатам вершин даёт точно 7 см² (каждая неполная клетка занята ровно наполовину).
4.43. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6 см, BC = 8 см, CA = 10 см. Чему равен периметр равного ему треугольника QST?
Равные треугольники совпадают при наложении, у них равны все стороны, поэтому равны периметры. P = 6 + 8 + 10 = 24 (см). Ответ: 24 см.
4.44. Найдите равные отрезки среди отрезков ST, MP, CD, OK, EF, если ST = 40 мм, MP = 32 см, CD = 4 см, OK = 2 дм, EF = 20 см.
Переведём в сантиметры: ST = 40 мм = 4 см; MP = 32 см; CD = 4 см; OK = 2 дм = 20 см; EF = 20 см. Равные отрезки: ST и CD (по 4 см); OK и EF (по 20 см).
4.45. Длина прямоугольника равна 5 см 2 мм, а его ширина — 2 см 6 мм. Вычислите его площадь.
Переведём в миллиметры: 5 см 2 мм = 52 мм, 2 см 6 мм = 26 мм. S = 52 · 26 = 1352 (мм²) = 13 см² 52 мм² (13,52 см²).
4.46. Ширина прямоугольника MNKS равна 42 см, а длина на 7 см больше. Найдите площадь прямоугольника.
Длина 42 + 7 = 49 (см). S = 42 · 49 = 2058 (см²).
4.47. Длина прямоугольника CDOP равна 56 мм, а ширина в 4 раза меньше. а) Найдите площадь прямоугольника CDOP. б) Найдите площадь каждого из треугольников, на которые отрезок CO разбивает этот прямоугольник.
Ширина 56 : 4 = 14 (мм). а) S = 56 · 14 = 784 (мм²). б) Диагональ CO делит прямоугольник на два равных треугольника, площадь каждого 784 : 2 = 392 (мм²).
4.48. Сторона квадрата равна 14 см. Найдите его площадь.
S = a² = 14 · 14 = 196 (см²).
4.49. Площадь квадрата равна 49 дм². Найдите его сторону.
a² = 49; 7 · 7 = 49, значит, a = 7 дм.
4.50. Сколько клеток содержит каждая фигура на рисунке 4.8?
Какие из этих фигур имеют одинаковую площадь?
Назовите среди них равные фигуры.
Считаем клетки по рисунку. A: 3 + 3 + 1 = 7. B: 1 + 3 + 3 = 7. C: 1 + 3 + 3 = 7. D: ряд из 4 клеток и ещё 3 клетки под последней: 4 + 3 = 7. E: столбик из 3 клеток и ещё 3 клетки вправо от нижней: 3 + 3 = 6. F: ряд из 4 клеток и ещё 3 клетки под последней:
7. Одинаковую площадь (7 клеток) имеют A, B, C, D, F; у E площадь 6 клеток. Равны (совпадают при наложении) фигуры D и F (одинаковые уголки с рядом из 4 клеток и 3 клетками); остальные фигуры друг другу не равны. Оговорка: клетки считались по рисунку, фигуры D, E повёрнуты.
4.51. Существуют ли неравные фигуры, имеющие равные площади?
Приведите пример.
Да, такие фигуры называют равновеликими. Пример: прямоугольник 2 × 6 клеток и прямоугольник 3 × 4 клетки — оба занимают 12 клеток, но не совпадают при наложении. Также фигуры A и B на рисунке 4.8 (по 7 клеток) имеют разную форму.