§ 4. Площади и объёмы. 21. Площадь. Формула площади прямоугольника — с. 139
4.52. Выясните, какие фигуры на рисунке 4.9 являются равновеликими.
Равновеликие фигуры имеют одинаковую площадь. Считаем клетки по рисунку: A — 1 + 3 = 4 клетки; B — ряд из 4 клеток; C — 2 + 3 = 5 клеток; D — квадрат 2 × 2 = 4 клетки. Равновелики фигуры A, B и D (по 4 клетки). Фигура C (5 клеток) им не равновелика.
4.53. Даны два равновеликих прямоугольника. В первом прямоугольнике длина равна 18 см, а ширина на 4 см меньше длины. Во втором прямоугольнике ширина равна 12 см. Найдите длину второго прямоугольника.
Ширина первого 18 – 4 = 14 (см). Площадь первого 18 · 14 = 252 (см²). Равновеликие прямоугольники имеют равные площади, поэтому длина второго 252 : 12 = 21 (см). Ответ: 21 см.
4.54. Длина прямоугольника равна 20 см, а ширина — 5 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.
Площадь прямоугольника 20 · 5 = 100 (см²). У квадрата площадь a² = 100, значит, a = 10 (10 · 10 = 100). Ответ: сторона квадрата 10 см.
4.55. Вычислите. а) 39 : 3, + 37, : 5, · 11, : 55; б) 28 : 2, + 40, : 3, · 5, : 15; в) 72 : 3, : 12, + 44, : 23, · 35; г) 80 : 20, · 15, : 30, + 19, · 5; д) 100 : 10, · 7, : 14, · 25, – 75.
а) 13 → 50 → 10 → 110 → 2. б) 14 → 54 → 18 → 90 → 6. в) 24 → 2 → 46 → 2 → 70. г) 4 → 60 → 2 → 21 → 105. д) 10 → 70 → 5 → 125 → 50. Ответ: 2; 6; 70; 105; 50.
4.56. Вместо звёздочек назовите такие числа, чтобы цепочка была верной. а) 96 → :★ → 4 → +★ → 40 → ·★ → 160 → +★ → 800 → :★ → 8 (стрелки направлены справа налево). б) 53 → –★ → 30 → ·★ → 240 → –★ → 200 → :★ → 50 → :★ → 2.
а) 96 : 24 = 4 (★ = 24); 4 + 36 = 40 (★ = 36); 40 · 4 = 160 (★ = 4); 160 + 640 = 800 (★ = 640); 800 : 100 = 8 (★ = 100). б) 53 – 23 = 30 (★ = 23); 30 · 8 = 240 (★ = 8); 240 – 40 = 200 (★ = 40); 200 : 4 = 50 (★ = 4); 50 : 25 = 2 (★ = 25).
4.57. Вычислите: 2!; 8!; 10!.
Факториал n! — произведение натуральных чисел от 1 до n. 2! = 1 · 2 = 2. 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40 320. 10! = 40 320 · 9 · 10 = 3 628 800.
4.58. Составьте задачу по уравнению: а) 13t = 65; б) 4v = 48; в) 2(c – 6) = 56.
Возможные задачи (образцы). а) Один рабочий делает 13 деталей в час. За сколько часов он сделает 65 деталей? 13t = 65; t = 5. б) Велосипедист за 4 ч проехал 48 км. С какой скоростью он ехал? 4v = 48; v = 12 (км/ч). в) Сумму, которая осталась у Ани, когда она потратила 6 р., удвоили, и получилось 56 р. Сколько рублей было у Ани сначала? 2(c – 6) = 56; c – 6 = 28; c = 34 (р.). Задачи не единственные: подойдёт любой сюжет, приводящий к этим уравнениям.
4.59. Существует ли число, которое не является корнем уравнения: а) z : z = 1; б) 0 : z = 0; в) z · 1 = z?
а) z : z = 1 верно для любого натурального z, кроме 0 (на ноль делить нельзя): число 0 не является корнем. б) 0 : z = 0 верно при любом z, кроме 0 (деление на 0 не определено): 0 не корень. в) z · 1 = z верно для любого числа, включая 0: нет числа, которое не было бы корнем (тождество).
4.60. Что произойдёт с произведением двух натуральных чисел, если одно число увеличить: а) на 1; б) на 10; в) в 10 раз?
Приведите примеры.
Пусть числа a и b. а) (a + 1) · b = ab + b: произведение увеличится на второй множитель b. Пример: 6 · 4 = 24, а 7 · 4 = 28 (на 4 больше). б) (a + 10) · b = ab + 10b: произведение увеличится на 10b. Пример: 16 · 4 = 64 (на 40 больше, чем 24). в) (10a) · b = 10ab: произведение увеличится в 10 раз. Пример: 60 · 4 = 240 = 24 · 10.
4.61. Какое число получится, если: а) наибольшее трёхзначное число умножить на 1000; б) число, записанное двойкой с шестью последующими нулями, разделить на 1000?
а) Наибольшее трёхзначное число 999; 999 · 1000 = 999 000. б) Число 2 000 000; 2 000 000 : 1000 = 2000.
4.62. Для некоторых троек чисел a, b, c выполняется равенство a² + b² = c², например 3² + 4² = 5². (Проверьте!) Обладают ли таким свойством тройки чисел: а) 6, 8, 10; б) 12, 13, 15?
Найдите ещё одну такую тройку.
Проверка примера: 9 + 16 = 25. а) 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² — обладает. б) 12² + 13² = 144 + 169 = 313, а 15² = 225 — не обладает. Ещё тройка: 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 = 13². (Подойдут также 8, 15, 17 и 9, 12, 15.)
4.63. За 1 ч в цистерну поступает n л воды, а d л воды поступит за t ч. Составьте формулу, выражающую d через t и n.
За каждый час поступает n л, за t часов — в t раз больше: d = n · t (или d = nt).
4.64. Цена 1 кг товара равна a, стоимость x кг этого товара равна c. Напишите формулу, выражающую x через c и a.
Стоимость c = a · x, поэтому x = c : a (количество товара равно стоимости, делённой на цену).