§ 4. Площади и объёмы. 20. Формулы — с. 135
4.24. Коля начал догонять Алёшу, когда тот отплыл на 18 м. Догонит ли Коля Алёшу через 4 мин, если будет плыть со скоростью 20 м/мин, а Алёша плывёт со скоростью 15 м/мин?
Скорость сближения 20 – 15 = 5 (м/мин). Расстояние 18 м Коля сократит за 18 : 5 = 3,6 (мин), а это меньше 4 мин. Проверка: за 4 мин Коля проплывёт 20 · 4 = 80 (м), Алёша 18 + 15 · 4 = 78 (м) от места старта Коли; 80 > 78. Ответ: да, догонит (раньше, чем за 4 мин).
4.25. На координатной прямой отметьте точки P(4), Q(6), R(0) и T(9). Найдите длину (в единичных отрезках) отрезков PQ, RT, QT.
Длина отрезка равна разности координат его концов (из большей вычитаем меньшую). PQ = 6 – 4 = 2. RT = 9 – 0 = 9. QT = 9 – 6 = 3. Точки на прямой располагаются в порядке R(0), P(4), Q(6), T(9).
4.26. Проведите прямую через точки A и B и отметьте точки M и N так, чтобы точка M лежала между A и B, а точка A — между M и N. Какие точки лежат на отрезке AB; на луче NM и на отрезке NM?
Условие «A между M и N» и «M между A и B» выполняется, если точки лежат на прямой в порядке N, A, M, B (рисунок). На отрезке AB лежат его концы A и B и точка M. На луче NM (начало в N, проходит через M) лежат N, A, M и B. На отрезке NM лежат концы N, M и точка A; точка B на этом отрезке не лежит.
4.27. Докажите, что: а) 800 < 25 · 43 < 1500; б) 2100 < 36 · 78 < 3200.
а) 25 · 43 = 1075; 800 < 1075 и 1075 < 1500, значит, 800 < 25 · 43 < 1500. б) 36 · 78 = 2808; 2100 < 2808 и 2808 < 3200, значит, 2100 < 36 · 78 < 3200.
4.28.
1. Бетон содержит (по массе) 5 частей цемента, 8 частей песка и 16 частей щебня. Чему равна масса бетона, если в нём щебня больше, чем цемента, на 143 кг?
2. Сплав Вуда, применяемый в системах пожарной сигнализации, состоит из 4 частей висмута, 2 частей свинца, 1 части олова и 1 части кадмия (по массе). Чему равна масса сплава, если в нём висмута на 147 г больше, чем кадмия?
1) Щебня на 16 – 5 = 11 частей больше, чем цемента, и это 143 кг; одна часть 143 : 11 = 13 (кг). Всего частей 5 + 8 + 16 = 29; масса бетона 29 · 13 = 377 (кг).
2. Висмута на 4 – 1 = 3 части больше, чем кадмия, это 147 г; одна часть 147 : 3 = 49 (г). Всего частей 4 + 2 + 1 + 1 = 8; масса сплава 8 · 49 = 392 (г). Ответ: 377 кг; 392 г.
4.29. Масса M товара с упаковкой (её называют массой брутто) состоит из массы товара (нетто) и массы p упаковки (тары). Запишите это правило в виде формулы, если масса одного изделия равна m и в упаковке n изделий. Вычислите по формуле массу брутто ящика, в котором 20 кастрюль, массой 800 г каждая, а масса ящика 3 кг.
Масса товара (нетто) равна mn, поэтому M = mn + p. По условию m = 800 г = 0,8 кг, n = 20, p = 3 кг: M = 0,8 · 20 + 3 = 16 + 3 = 19 (кг). Ответ: масса брутто 19 кг.
4.30. а) Вычислите, используя формулу пути, расстояние s, если v = 14 км/ч, t = 4 ч. б) Используя формулу пути, вычислите время t, если s = 385 м, v = 55 м/с.
а) s = vt = 14 · 4 = 56 (км). б) t = s : v = 385 : 55 = 7 (с).
4.31. Используя формулу периметра прямоугольника, вычислите: а) P, если a = 25 см, b = 35 см; б) a, если P = 156 м, b = 42 м.
Формула P = 2(a + b). а) P = 2 · (25 + 35) = 120 (см). б) 156 = 2(a + 42); a + 42 = 78; a = 36 (м).
4.32. Найдите сторону квадрата, если его периметр равен 196 м.
P = 4a, значит, a = 196 : 4 = 49 (м).