§ 4. Площади и объёмы. 20. Формулы — с. 134
4.12. Ахиллес догоняет черепаху. Скорость Ахиллеса 4 м/с, а скорость черепахи 1 м/с. Сейчас расстояние между ними 126 м. Чему будет равно расстояние между Ахиллесом и черепахой через t с?
Запишите ответ в виде формулы и упростите её. Какой смысл имеет число 3 в этой формуле?
Через сколько секунд Ахиллес догонит черепаху?
Ахиллес за t с пройдёт 4t м, черепаха t м. Расстояние: d = 126 – 4t + t = 126 – 3t (м). Число 3 — скорость сближения: Ахиллес приближается к черепахе на 3 м за каждую секунду (4 – 1 = 3). Догонит, когда d = 0: 126 – 3t = 0; 3t = 126; t = 42. Ответ: через 42 секунды.
4.13. Вычислите. а) 72 : 8, + 51, : 15, · 9, + 14; б) 56 : 7, · 5, – 13, : 9, + 17; в) 63 : 9, + 33, : 8, · 13, – 25; г) 54 : 6, · 7, + 17, : 10, – 8; д) 81 : 9, + 41, : 5, · 7, – 17.
а) 9 → 60 → 4 → 36 → 50. б) 8 → 40 → 27 → 3 → 20. в) 7 → 40 → 5 → 65 → 40. г) 9 → 63 → 80 → 8 → 0. д) 9 → 50 → 10 → 70 → 53. Ответ: 50; 20; 40; 0; 53.
4.14. Вместо звёздочек назовите такие числа, чтобы цепочка вычислений была верной. а) 15 · = 90; 90 : = 18; 18 · = 72; 72 + = 90. б) 70 – = 49; 49 : = 7; 7 · = 98; 98 + = 110.
а) 15 · 6 = 90; 90 : 5 = 18; 18 · 4 = 72; 72 + 18 = 90. Числа: 6, 5, 4, 18. б) 70 – 21 = 49; 49 : 7 = 7; 7 · 14 = 98; 98 + 12 = 110. Числа: 21, 7, 14, 12.
4.15. Вычислите квадраты и кубы чисел: 3; 6; 11; 12; 30.
Квадраты: 3² = 9; 6² = 36; 11² = 121; 12² = 144; 30² = 900. Кубы: 3³ = 27; 6³ = 216; 11³ = 1331; 12³ = 1728; 30³ = 27 000.
4.16. а) Найдите число, если его квадрат равен: 1; 9; 25; 81; 4900. б) Найдите число, если его куб равен: 1; 27; 64; 8000.
а) 1² = 1; 3² = 9; 5² = 25; 9² = 81; 70² = 4900. Числа: 1; 3; 5; 9; 70. б) 1³ = 1; 3³ = 27; 4³ = 64; 20³ = 8000. Числа: 1; 3; 4; 20.
4.17. Найдите произведение, выбирая удобный способ: а) 25 · 17 · 4; б) 125 · 37 · 8; в) 8 · 45 · 250; г) 2 · 95 · 50; д) 125 · 64 · 16; е) 40 · 25 · 8 · 125.
Группируем множители, дающие круглые числа. а) (25 · 4) · 17 = 100 · 17 = 1700. б) (125 · 8) · 37 = 1000 · 37 = 37 000. в) (8 · 250) · 45 = 2000 · 45 = 90 000. г) (2 · 50) · 95 = 100 · 95 = 9500. д) 125 · 64 · 16 = (125 · 8) · (8 · 16) = 1000 · 128 = 128 000. е) (40 · 25) · (8 · 125) = 1000 · 1000 = 1 000 000.
4.18. Как изменится частное двух чисел, если делимое и делитель увеличить в одно и то же число раз?
Приведите примеры.
Частное не изменится. Примеры: 12 : 4 = 3; после увеличения в 2 раза: 24 : 8 = 3; в 5 раз: 60 : 20 = 3. Другой пример: 72 : 8 = 9 и 216 : 24 = 9 (в 3 раза).
4.19. Расставьте порядок выполнения действий в выражении: а) 24 · 7² – 16 · 2² + 1938 : 19; б) 12³ · 4 – 4 · (84 + 14² · 6).
а) ① 7² = 49; ② 2² = 4; ③ 24 · 49 = 1176; ④ 16 · 4 = 64; ⑤ 1938 : 19 = 102; ⑥ 1176 – 64 = 1112; ⑦ 1112 + 102 = 1214. б) ① 12³ = 1728; ② 1728 · 4 = 6912; ③ 14² = 196; ④ 196 · 6 = 1176; ⑤ 84 + 1176 = 1260 (скобки); ⑥ 4 · 1260 = 5040; ⑦ 6912 – 5040 = 1872. Значения: 1214 и 1872 (порядок действий допускает перестановку независимых действий).
4.20. Какими цифрами оканчиваются квадраты чисел? кубы чисел?
Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры числа: 0² → 0, 1² → 1, 2² → 4, 3² → 9, 4² → 6, 5² → 5, 6² → 6, 7² → 9, 8² → 4, 9² → 1. Квадраты оканчиваются цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9 (никогда 2, 3, 7, 8). Кубы: 0³ → 0, 1³ → 1, 2³ → 8, 3³ → 7, 4³ → 4, 5³ → 5, 6³ → 6, 7³ → 3, 8³ → 2, 9³ → 9: кубы могут оканчиваться любой цифрой.
4.21. Лыжник бежал 3 ч со скоростью x км/ч и 2 ч со скоростью y км/ч. Сколько всего километров пробежал лыжник за эти 5 ч?
Для решения задачи составьте выражение и найдите его значение при: а) x = 10, y = 11; б) x = 10, y = 15; в) x = 12, y = 14.
Путь: 3x + 2y (км). а) 3 · 10 + 2 · 11 = 30 + 22 = 52 (км). б) 3 · 10 + 2 · 15 = 30 + 30 = 60 (км). в) 3 · 12 + 2 · 14 = 36 + 28 = 64 (км).
4.22. Вычислите: а) 3² + 2²; б) (5² + 1)²; в) (8² – 3²) : (8 – 3); г) (7³ + 6³) : (7² – 6²).
а) 9 + 4 = 13. б) (25 + 1)² = 26² = 676. в) (64 – 9) : 5 = 55 : 5 = 11. г) (343 + 216) : (49 – 36) = 559 : 13 = 43. Ответ: 13; 676; 11; 43.
4.23. Разбираемся в решении. Оле, Лене, Нике, Ярославу и Кириллу купили синий, красный, жёлтый, зелёный и сиреневый шарики. Сколькими способами они могут выбрать шарики?
Первый ребёнок выбирает из 5 шариков, второй — из 4 оставшихся, третий — из 3, четвёртый — из 2, последнему достаётся оставшийся шарик. Всего 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов. (Решение разобрано в учебнике; ответ — 120.)