§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 19. Свойства и признаки делимости — с. 129
3.426. Найдите остаток от деления: а) 17 на 5; б) 50 на 16; в) 155 на 9; г) 541 на 11.
а) 17 = 5 · 3 + 2; остаток 2. б) 50 = 16 · 3 + 2; остаток 2. в) 155 = 9 · 17 + 2; остаток 2. г) 541 = 11 · 49 + 2; остаток 2.
3.427. Выполните деление с остатком: а) 76 на 11; б) 79 на 19; в) 1185 на 237; г) 234 на 13.
а) 76 = 11 · 6 + 10: неполное частное 6, остаток 10. б) 79 = 19 · 4 + 3: частное 4, остаток 3. в) 1185 = 237 · 5 + 0: частное 5, остаток 0. г) 234 = 13 · 18 + 0: частное 18, остаток 0.
3.428. Найдите значение выражения 62t + 38t – 67 при t = 67; t = 670; t = 6700.
Упростим: 62t + 38t – 67 = 100t – 67. При t = 67: 6700 – 67 = 6633. При t = 670: 67 000 – 67 = 66 933. При t = 6700: 670 000 – 67 = 669 933.
3.429. Найдите корень уравнения: а) x + 8x + 11 = 146; б) 35x + 22x = 456; в) 32y – 27y = 60; г) 37z – z = 540.
а) 9x + 11 = 146; 9x = 135; x = 15. б) 57x = 456; x = 8. в) 5y = 60; y = 12. г) 36z = 540; z = 15. Ответ: 15; 8; 12; 15.
3.430. Выполните действия: 44 + (10 302 : (32 + 19) – 36 · 5) : (29 · 3 – 76).
32 + 19 = 51; 10 302 : 51 = 202; 36 · 5 = 180; 202 – 180 = 22; 29 · 3 = 87; 87 – 76 = 11; 22 : 11 = 2; 44 + 2 = 46. Ответ: 46.
Проверочная работа № 1 (п. 19).
1. Выберите из чисел 2, 5, 6, 10, 18, 180, 291, 2323, 3450, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333 числа, которые: а) делятся на 2; б) делятся на 10; в) не делятся на 2; г) делятся на 5, но не делятся на 10; д) кратны 9; е) делятся на 3, но не делятся на 9; ж) делятся на 2 и 3.
а) На 2: 2, 6, 10, 18, 180, 3450. б) На 10: 10, 180, 3450. в) Не делятся на 2: 5, 291, 2323, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333. г) На 5, но не на 10: 5, 15 555, 20 605. д) Кратны 9 (сумма цифр делится на 9): 18, 180, 333 333. е) На 3, но не на 9: 6 (сумма 6), 291 (12), 3450 (12), 15 555 (21), 33 333 (15). ж) На 2 и на 3: 6, 18, 180, 3450.
Проверочная работа № 1 (п. 19).
2. Можно ли найти число, которое делится на 10, но не делится на 2?
3. На столе лежат рисунки, которых больше 60, но меньше 80. Эти рисунки можно сложить в папки по 6 либо по 8 рисунков. Сколько рисунков на столе?
4. Вычислите: (26 · 652 – 16 · 652) : 5 + 504 · 4 : 9.
2. Нет: число, делящееся на 10, оканчивается нулём, а значит, чётное и делится на 2.
3. Количество рисунков кратно 6 и 8, то есть кратно 24 (НОК(6, 8) = 24). Между 60 и 80 есть только 72 (24 · 3). Проверка: 72 : 6 = 12, 72 : 8 = 9. Ответ: 72 рисунка. 4. 26 · 652 – 16 · 652 = (26 – 16) · 652 = 6520; 6520 : 5 = 1304; 504 · 4 = 2016; 2016 : 9 = 224; 1304 + 224 = 1528. Ответ: 1528.
Проверочная работа № 2 (п. 19).
1. Можно ли 234 человека рассадить в 5 автобусов поровну?
2. Запишите все делители числа 60.
3. Известно, что двузначное число делится на 9 и состоит из одинаковых цифр. Выпишите все такие числа.
4. Известно, что нечётное трёхзначное число делится на 5 и состоит из цифр 0, 5, 7. Что это за число?
1. Нет: 234 не оканчивается цифрой 0 или 5, на 5 не делится (234 = 5 · 46 + 4).
2. Делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
3. Числа 11, 22, …, 99: сумма цифр 2 · k делится на 9 только при k = 9. Это число 99.
4. Число нечётное и делится на 5, значит, оканчивается цифрой 5; первая цифра не 0, поэтому это 705 (цифры 7, 0, 5). Ответ: 705.
Проверочная работа № 2 (п. 19).
5. Катя купила 9 тетрадей и потратила на покупку 357 р. Могло ли такое быть, если цена тетради выражается натуральным числом рублей?
6. Не вычисляя суммы, установите, делится ли на 3 каждое из слагаемых и будет ли делиться нацело на 3 их сумма: а) 321 + 459; б) 323 + 4571.
7. В числе 345* вместо звёздочки поставьте цифру так, чтобы полученное число: а) делилось на 5; б) делилось на 3 и на 9; в) делилось на 2, на 3, на 5 и на 10.
5. Стоимость 9 тетрадей равна 9 · (цена), значит, должна делиться на 9. Сумма цифр 357: 3 + 5 + 7 = 15, на 9 не делится, поэтому 357 на 9 не делится: такого быть не могло. 6. а) 321: 3 + 2 + 1 = 6 — делится на 3; 459: 4 + 5 + 9 = 18 — делится на 3. Оба слагаемых делятся на 3, поэтому и сумма делится на 3 (по свойству суммы). б) 323: 3 + 2 + 3 = 8 — не делится на 3; 4571: 4 + 5 + 7 + 1 = 17 — не делится на 3. Слагаемые на 3 не делятся, свойство суммы тут не помогает; остатки от деления на 3 равны 2 и 2, их сумма даёт остаток 1, значит, сумма на 3 не делится (проверка: 323 + 4571 = 4894, сумма цифр 25). 7. а) На 5: = 0 или 5. б) Сумма цифр 3 + 4 + 5 = 12; 12 + должно делиться на 9: = 6 (3456; 3456 : 9 = 384). в) На 10 — оканчивается нулём: = 0 (3450); сумма цифр 12 делится на 3, число чётное, оканчивается нулём — делится на 2, 3, 5 и 10.