§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 19. Свойства и признаки делимости — с. 127
3.398. Число m является делителем числа c. Является ли частное от деления c на m делителем числа c?
Да. Если m — делитель c, то c = m · k, где k = c : m — натуральное число. Но тогда c = k · m, то есть c делится на k без остатка, и k — тоже делитель c. Пример: m = 4, c = 12; частное 12 : 4 = 3 — делитель 12.
3.399. Найдите корень уравнения: а) (154 – t) + 39 = 125; б) 36 · (t – 87) = 252.
а) 154 – t = 125 – 39 = 86; t = 154 – 86 = 68. б) t – 87 = 252 : 36 = 7; t = 87 + 7 = 94. Проверка: (154 – 68) + 39 = 125; 36 · (94 – 87) = 252.
3.400. Если к числу a прибавить 75, то полученное число разделится без остатка на 7. Чему равен остаток от деления числа a на 7?
75 = 7 · 10 + 5, остаток от деления 75 на 7 равен 5. Сумма a + 75 делится на 7, поэтому остаток от деления a на 7 должен дополнять 5 до 7: 7 – 5 = 2. Проверка: a = 2: 2 + 75 = 77 = 7 · 11; a = 9: 84 = 7 · 12. Ответ: остаток 2.
3.401. Фермеру надо засеять пять полей рожью. а) Сколькими способами можно установить для них очерёдность? б) Сколькими способами можно установить очерёдность, если первым засеять третье поле, а вторым — четвёртое?
а) Первым можно засеять любое из 5 полей, вторым — любое из 4 оставшихся, третьим — из 3, четвёртым — из 2, пятым — последнее: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов. б) Первые два поля заданы, остаются три поля на три места: 3 · 2 · 1 = 6 способов. Ответ: 120 и 6. Примечание: в б) «вторым — четвёртое» понято как четвёртое поле по номеру.
3.402. Решите задачу двумя способами (с помощью уравнения и без составления уравнения):
1. В бочке было несколько литров воды. После проливного дождя объём воды в бочке увеличился в 9 раз, а после того, как 72 л воды использовали на полив огурцов в теплице, в бочке осталось 54 л воды. Сколько литров воды было в бочке первоначально?
2. Для строительства спортивной площадки первый самосвал привёз несколько центнеров песка, второй — ещё 42 ц, а после разгрузки третьего самосвала масса песка увеличилась в 4 раза. Сколько центнеров песка привёз первый самосвал, если три самосвала вместе привезли 268 ц?
1) Уравнение: пусть было x л; 9x – 72 = 54; 9x = 126; x = 14. Без уравнения (с конца): 54 + 72 = 126 (л) было после дождя; 126 : 9 = 14 (л). Ответ: 14 л.
2. Уравнение: пусть первый самосвал привёз x ц; после первых двух было x + 42 ц, а после третьего стало 268 ц, что в 4 раза больше: 4(x + 42) = 268; x + 42 = 67; x = 25. Без уравнения: 268 : 4 = 67 (ц) было после двух самосвалов; 67 – 42 = 25 (ц). Ответ: 25 ц. (Третий самосвал привёз 268 – 67 = 201 ц.)
3.403. Вычислите. а) 340 + 7 + 60, 19 + 102 + 18, 201 + 13 + 9; б) 70 – 15, 36 – 27, 105 – 8; в) 13 · 5, 4 · 50, 29 · 10; г) 500 : 100, 800 : 40, 240 : 30.
а) 407; 139; 223. б) 55; 9; 97. в) 65; 200; 290. г) 5; 20; 8.
3.404. Является ли чётным числом: а) квадрат нечётного числа; б) куб нечётного числа; в) куб чётного числа?
а) Нет: нечётное · нечётное = нечётное (например, 3² = 9). б) Нет: куб нечётного числа тоже нечётный (3³ = 27). в) Да: в произведении есть чётный множитель, значит, оно чётно (2³ = 8).
3.405. Ширина прямоугольника 60 см. Верно ли, что значение площади (в квадратных сантиметрах): а) кратно 2; б) кратно 5; в) кратно 6; г) кратно 9; д) кратно 12?
Площадь равна 60 · a, где a — длина (будем считать её натуральным числом сантиметров). Так как 60 делится на 2, 5, 6 и 12 (60 = 2 · 30 = 5 · 12 = 6 · 10 = 12 · 5), то по свойству произведения площадь делится на них при любой длине. а) Верно. б) Верно. в) Верно. г) Не всегда: 60 не делится на 9, и площадь 60a делится на 9 только если a делится на 3 (например, a = 1: 60 не кратно 9). д) Верно.
3.406. Всегда ли верно: а) если каждое слагаемое кратно числу n, то и сумма кратна числу n; б) если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n?
а) Верно — это свойство делимости суммы: n можно вынести за скобки: n · k + n · m = n · (k + m). б) Неверно (не всегда): при n = 3 разность 10 – 5 = 5 не кратна 3, а 8 – 5 = 3 кратна 3, хотя 8 и 5 не кратны 3. Значит, по некратности уменьшаемого и вычитаемого судить о разности нельзя.
3.407. Как быстро узнать, делится ли на 2: а) сумма 73 483 + 45 231, 44 334 + 81 625 и 73 244 + 73 696; б) разность 73 449 – 61 114, 264 121 – 111 245 и 48 573 – 12 563?
Смотрим на чётность слагаемых (по последним цифрам). Сумма делится на 2, если слагаемые одной чётности. а) 73 483 + 45 231: оба нечётные — сумма чётная, делится на 2. 44 334 + 81 625: чётное и нечётное — не делится. 73 244 + 73 696: оба чётные — делится. б) Разность делится на 2 тоже при одной чётности. 73 449 – 61 114: нечётное и чётное — не делится. 264 121 – 111 245: оба нечётные — делится. 48 573 – 12 563: оба нечётные — делится.
3.408. Любое ли число, делящееся на 2, делится и на 4?
Нет. Например, 6 делится на 2, но не делится на 4 (6 : 4 = 1, остаток 2). На 4 делятся не все чётные числа, а лишь некоторые (4, 8, 12, …).
3.409. а) Всегда ли запись числа, делящегося на 5, оканчивается цифрой 5? б) Может ли число, не делящееся на 5, оканчиваться цифрой 0?
а) Нет: число, делящееся на 5, может оканчиваться и нулём (например, 20, 100). б) Нет: любое число, оканчивающееся нулём, делится на 5 (и на 10).
3.410. Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если оно: а) чётное; б) нечётное?
Число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 0 или 5. а) Если оно чётное, то последняя цифра 0 (5 — нечётная). б) Если нечётное, то последняя цифра 5.
3.411. Можно ли записать вместо знака цифру, чтобы полученное число делилось на 5: а) 279; б) 555; в) 613?
а) Можно: = 0 или 5 (2790, 2795). б) Можно: последняя цифра 5, значит, число делится на 5 при любой цифре (0, 1, …, 9). в) Нельзя: последняя цифра 3 — не 0 и не 5.
3.412. Сколько трёхзначных чисел можно составить из различных чётных цифр, не используя 0?
Чётные цифры без нуля: 2, 4, 6, 8 (четыре цифры). Первую цифру выбираем 4 способами, вторую — 3 способами (цифры различны), третью — 2 способами: 4 · 3 · 2 = 24 числа.
3.413. Верно ли, что чётным числом является: а) сумма двух чётных чисел; б) разность двух нечётных чисел; в) произведение двух чётных чисел; г) произведение двух нечётных чисел?
а) Верно: слагаемые делятся на 2, значит, и сумма делится на 2. б) Верно: у двух нечётных чисел последние цифры нечётные, их разность оканчивается чётной цифрой (например, 9 – 3 = 6). в) Верно: один из множителей делится на 2. г) Неверно: произведение нечётных чисел нечётно (3 · 5 = 15).