§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 19. Свойства и признаки делимости — с. 126
3.383. Напишите два числа: а) содержащих только цифру 2, которые делятся на 3; б) содержащих только цифру 6, которые делятся на 9.
а) Сумма цифр 2 + 2 + … должна делиться на 3: нужно взять число цифр, кратное 3. Например, 222 (сумма 6) и 222 222 (сумма 12). б) Сумма 6 · k делится на 9, когда k делится на 3: 666 (сумма 18) и 666 666 (сумма 36).
3.384. Всегда ли верно: а) любое число, у которого 3 единицы в разряде единиц, делится на 3; б) если число делится на 3, то оно делится и на 9?
а) Неверно: 13 оканчивается цифрой 3, но на 3 не делится (сумма цифр 4). Делимость на 3 определяется суммой цифр, а не последней цифрой. б) Неверно: 12 делится на 3, но не делится на 9 (сумма цифр 3).
3.385. Можно ли разделить на три одинаковые команды: 37 ребят; 76 ребят; 36 ребят?
Число должно делиться на 3: сумма цифр делится на 3. 37: 3 + 7 = 10 — нет. 76: 7 + 6 = 13 — нет. 36: 3 + 6 = 9 — да (по 12 человек).
3.386. Для экскурсии заказано 9 автобусов. Можно ли разделить 267 экскурсантов; 369 экскурсантов так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество человек?
Число должно делиться на 9: сумма цифр делится на 9. 267: 2 + 6 + 7 = 15 — не делится на 9, нельзя (267 : 9 = 29 и 6 в остатке). 369: 3 + 6 + 9 = 18 — делится, можно: по 41 человеку (369 : 9 = 41).
3.387. Из 100 кг золота выплавили 9 одинаковых слитков. Могло ли остаться: 750 г золота; 270 г золота?
100 кг = 100 000 г. Предполагаем, что масса слитка — целое число граммов. Тогда на слитки ушло 100 000 – остаток, и это число должно делиться на 9. При остатке 750 г: 100 000 – 750 = 99 250; сумма цифр 9 + 9 + 2 + 5 + 0 = 25, не делится на 9 — не могло. При остатке 270 г: 100 000 – 270 = 99 730; сумма цифр 9 + 9 + 7 + 3 + 0 = 28, не делится на 9 — тоже не могло. Ответ: нет в обоих случаях (если разрешить дробные граммы, то могло бы). Оговорка: ответ зависит от предположения о целых граммах.
3.388. Какую цифру можно записать вместо знака вопроса, чтобы полученное число делилось на 9: а) 111?22 145; б) ?73 104 560; в) 478 92?324; г) 39 708 36??
Сумма цифр должна делиться на 9. а) 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 4 + 5 = 17; 17 + ? = 18: ? = 1. б) 7 + 3 + 1 + 0 + 4 + 5 + 6 + 0 = 26; 26 + ? = 27: ? = 1. в) 4 + 7 + 8 + 9 + 2 + 3 + 2 + 4 = 39; 39 + ? = 45: ? = 6. г) 3 + 9 + 7 + 0 + 8 + 3 + 6 = 36 — уже делится на 9, значит, сумма двух последних цифр должна быть 0, 9 или 18: например 00, 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. Ответ: 1; 1; 6; пары цифр с суммой 0, 9 или 18.
3.389. Выпишите все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6. Проверьте, делятся ли эти числа на 2; на 3. Сформулируйте признак делимости на 6.
Числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Все они чётные (делятся на 2) и имеют сумму цифр, кратную 3 (делятся на 3): например, 54: 5 + 4 = 9. Признак: число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3 (оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3).
3.390. а) Какое наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2, делится на 6? б) Существует ли натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, которое делится на 6?
Ответ обоснуйте.
а) 2 и 22 на 6 не делятся (22 не делится на 3), 222: сумма цифр 6, оканчивается на 2 — делится на 6 (222 : 6 = 37). Наименьшее — 222. б) Нет: число из одних троек нечётное (оканчивается цифрой 3), значит, не делится на 2, а делимость на 6 требует чётности.
3.391. Какие цифры можно записать вместо знака вопроса, чтобы полученное число делилось на 6: а) 407 932 27?; б) 44 59?116; в) ?27 864 112; г) 9?573 248?
Нужно, чтобы число было чётным и сумма цифр делилась на 3. а) Сумма известных цифр 4 + 0 + 7 + 9 + 3 + 2 + 2 + 7 = 34; последняя цифра чётная, и 34 + ? делится на 3 — ? = 2 или 8 (суммы 36 и 42). б) 4 + 4 + 5 + 9 + 1 + 1 + 6 = 30; число оканчивается на 6 (чётное); 30 + ? делится на 3: ? = 0, 3, 6, 9. в) 2 + 7 + 8 + 6 + 4 + 1 + 1 + 2 = 31; число оканчивается на 2; 31 + ? делится на 3: ? = 2, 5, 8. г) 9 + 5 + 7 + 3 + 2 + 4 + 8 = 38; оканчивается на 8; 38 + ? делится на 3: ? = 1, 4, 7. Ответ: а) 2, 8; б) 0, 3, 6, 9; в) 2, 5, 8; г) 1, 4, 7.
3.392. Из числа 73 264 871 вычеркните три цифры так, чтобы получилось число, кратное: а) 9; б) 6; в) 3.
Сумма цифр числа 7 + 3 + 2 + 6 + 4 + 8 + 7 + 1 = 38. а) Нужна сумма, кратная 9: вычёркиваем 7, 6 и 7 (сумма 20) — остаётся 32 481 (сумма 18), 32 481 : 9 = 3609. б) Число должно быть чётным и с суммой цифр, кратной 3: вычёркиваем 7 (последнюю), 1 и 3 — остаётся 72 648 (оканчивается на 8, сумма 27), 72 648 : 6 = 12 108. в) Вычёркиваем 7, 7 и 3 (сумма 17) — остаётся 26 481 (сумма 21), 26 481 : 3 = 8827. Ответ не единственный.
3.393. Вычислите. а) 17 + 30, 5 + 25, 37 + 203, 384 + 20, 127 + 23; б) 728 – 7, 80 – 25, 100 – 6, 70 – 17, 300 – 85; в) 20 · 5, 4 · 25, 50 · 20, 24 · 1000, 270 · 100; г) 26 : 2, 144 : 9, 370 : 10, 600 : 30, 303 : 3.
а) 47; 30; 240; 404; 150. б) 721; 55; 94; 53; 215. в) 100; 100; 1000; 24 000; 27 000. г) 13; 16; 37; 20; 101.
3.394. Произведение каждых двух чисел, помещённых в квадраты, соединённые отрезком, равно 30 (рис. 3.24). Запишите эти числа. Как можно назвать набор этих чисел?
Чтобы произведение равнялось 30, пары должны быть такими: 1 и 30, 2 и 15, 3 и 10, 5 и 6 (1 · 30 = 2 · 15 = 3 · 10 = 5 · 6 = 30). Четыре пары расставляем на концах четырёх отрезков (порядок на рисунке любой). Набор 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 — это все делители числа 30.
3.395. Запишите выражение для решения задачи. а) Сколько стоят a порций мороженого по цене 50 р.? б) Чему равна масса n пачек печенья, если масса одной пачки 200 г? в) Сколько километров пройдёт турист за x ч, если его скорость равна 4 км/ч?
Сравните полученные выражения и сделайте вывод.
а) 50 · a = 50a (р.). б) 200 · n = 200n (г). в) 4 · x = 4x (км). Все три выражения имеют вид «число · буква»: цена, масса одной пачки и скорость умножаются на количество (порций, пачек, часов). Вывод: общую величину находят умножением величины на единицу на число единиц; знак умножения между числом и буквой не пишут.
3.396. а) Запишите наименьший и наибольший делители числа 34. б) Запишите наименьшее кратное числа 34. Есть ли у этого числа наибольшее кратное? в) Запишите какое-нибудь число, кратное и 3, и 14.
а) Делители 34: 1, 2, 17, 34; наименьший 1, наибольший 34. б) Наименьшее кратное числа 34 — само число 34. Наибольшего кратного нет: кратных бесконечно много (34, 68, 102, …). в) Число, кратное 3 и 14, должно быть кратно 42 (3 · 14): например, 42, 84, 126.
3.397. Найдите все двузначные числа, которые являются: а) делителями 200; б) кратными 20; в) делителями 200 и кратными 20; г) простыми.
а) Делители 200: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200; двузначные: 10, 20, 25, 40, 50. б) Кратные 20: 20, 40, 60, 80. в) Из них делят 200: 20 и 40. г) Простые двузначные: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (21 число).