§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 19. Свойства и признаки делимости — с. 125
3.370. Выпишите сорок первых натуральных чисел в порядке возрастания и чёрным карандашом подчеркните каждое второе число, красным — каждое пятое, зелёным — каждое десятое. а) Назовите числа, подчёркнутые чёрным карандашом. На какое число они делятся? б) Назовите числа, подчёркнутые красным карандашом. На какое число они делятся? в) Назовите числа, которые подчёркнуты двумя цветами; тремя цветами. На какое число они делятся? г) Назовите числа, которые не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10.
а) Чёрным подчёркнуты 2, 4, 6, …, 40 — все чётные числа; они делятся на 2. б) Красным: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40; они делятся на 5. в) Двумя цветами (чёрным и красным) подчёркнуты 10, 20, 30, 40 — числа, делящиеся и на 2, и на 5, то есть на 10. Эти же числа подчёркнуты зелёным, поэтому они подчёркнуты тремя цветами; чисел, подчёркнутых ровно двумя цветами, нет. Они делятся на 10. г) Не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10 числа, не подчёркнутые никаким цветом: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39 (16 чисел).
3.371. Назовите два: а) чётных числа, которые не делятся на 5; б) нечётных числа, которые не делятся на 5; в) чётных числа, делящиеся на 5; г) нечётных числа, делящиеся на 5.
Примеры (ответ не единственный): а) 2 и 4. б) 1 и 3. в) 10 и 20. г) 5 и 15.
3.372. а) Запишите в порядке возрастания числа, которые делятся на 5: 146, 655, 20 600, 720, 3018, 12 005. б) Запишите в порядке возрастания числа, которые делятся на 2: 786, 650, 20 600, 723, 3021, 12 006, 127. в) Запишите в порядке возрастания числа из пунктов а) и б), которые делятся на 10. Есть ли среди них числа, которые делятся на 100?
а) На 5 делятся числа, оканчивающиеся 0 или 5: 655, 720, 12 005, 20 600. б) На 2 делятся числа с чётной последней цифрой: 650, 786, 12 006, 20 600. в) На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулём: 650, 720, 20 600. На 100 делится только 20 600 (оканчивается двумя нулями).
3.373. а) Какие из чисел 400, 450, 6000, 80 000, 555, 84 690 делятся на 100? б) Какие из них делятся на 1000? в) Сформулируйте признаки делимости на 100, на 1000.
а) На 100 делятся 400, 6000, 80 000. б) На 1000 делятся 6000 и 80 000. в) Число делится на 100, если оно оканчивается двумя нулями; на 1000 — если оно оканчивается тремя нулями.
3.374. Используя лишь цифры 0, 4 и 5, напишите все двузначные числа, которые делятся: а) на 2; б) на 5.
Двузначные числа из цифр 0, 4, 5 (цифры могут повторяться, первая не ноль): 40, 44, 45, 50, 54, 55. а) На 2 делятся: 40, 44, 50, 54. б) На 5 делятся: 40, 45, 50, 55.
3.375. Купили несколько наборов машинок, по 5 машинок в каждом. Могло ли оказаться, что купили 35 машинок; 42 машинки; 60 машинок?
Число машинок должно делиться на 5. 35 — да (7 наборов). 42 — нет (оканчивается на 2). 60 — да (12 наборов).
3.376. Вася купил 10 булочек. Мог ли он заплатить за покупку 60 р.? 75 р.? 80 р. 15 к.?
Цена всех булочек — это цена одной, умноженная на 10, поэтому сумма в копейках должна делиться на 10, то есть оканчиваться нулём. 60 р. = 6000 к. — делится на 10 (булочка 6 р.): мог. 75 р. = 7500 к. — оканчивается нулём (булочка 7 р. 50 к.): мог. 80 р. 15 к. = 8015 к. — оканчивается цифрой 5: не делится на 10, не мог. Ответ: мог заплатить 60 р. и 75 р.; 80 р. 15 к. — не мог (цена выражается в рублях и копейках).
3.377. Не производя вычислений, определите, делится ли: а) на 5 произведение 265 · 123; б) на 2 сумма 48 + 34 + 26; в) на 10 разность 2400 – 670.
а) Да: множитель 265 делится на 5, значит, и произведение делится на 5. б) Да: каждое слагаемое чётно, значит, и сумма делится на 2. в) Да: 2400 и 670 оканчиваются нулём и делятся на 10, значит, и разность делится на 10 (она равна 1730).
3.378. Запишите числа, кратные 5, удовлетворяющие двойному неравенству: а) 78 < x < 87; б) 305 < x < 350; в) 114 < y < 155; г) 1 < y < 25.
Кратные 5 оканчиваются на 0 или 5. а) 80, 85. б) 310, 315, 320, 325, 330, 335, 340, 345. в) 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150. г) 5, 10, 15, 20.
3.379. Всегда ли верно: а) если число делится на 2, то оно чётное; б) если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 5; в) если число оканчивается цифрой 0, то оно делится и на 2, и на 5; г) если число не оканчивается цифрой 0, то оно не делится ни на 2, ни на 5?
а) Верно: числа, делящиеся на 2, называют чётными. б) Неверно: число, делящееся на 5, может оканчиваться и нулём (например, 20). в) Верно: по признакам делимости на 2 и на 5. г) Неверно: 12 не оканчивается нулём, но делится на 2; 15 делится на 5.
3.380. Какие из чисел 57 243, 3 672 528, 7 105 050 делятся на 3?
Какие из них делятся на 9?
Находим суммы цифр. 57 243: 5 + 7 + 2 + 4 + 3 = 21 — делится на 3, на 9 нет. 3 672 528: 3 + 6 + 7 + 2 + 5 + 2 + 8 = 33 — делится на 3, на 9 нет. 7 105 050: 7 + 1 + 0 + 5 + 0 + 5 + 0 = 18 — делится и на 3, и на 9. Ответ: на 3 делятся все три числа; на 9 — только 7 105 050.
3.381. Назовите какие-нибудь три пятизначных числа, которые делятся на 3.
Сумма цифр должна делиться на 3. Например: 10 002 (1 + 2 = 3), 12 345 (сумма 15), 99 999 (сумма 45). Подойдёт любое число с такой суммой цифр.
3.382. Какие цифры можно записать вместо знака вопроса, чтобы получившееся число делилось на 3: а) 5?2; б) 37?; в) ?32?
а) 5 + 2 = 7, нужно, чтобы 7 + ? делилось на 3: ? = 2, 5, 8 (суммы 9, 12, 15). б) 3 + 7 = 10; 10 + ? делится на 3: ? = 2, 5, 8 (суммы 12, 15, 18). в) 3 + 2 = 5; 5 + ? делится на 3: ? = 1, 4, 7 (суммы 6, 9, 12); ноль не подходит (и не может стоять в начале числа).