§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 18. Делители и кратные — с. 122
3.363. а) Запишите все делители числа 24 и все делители числа 36. Выпишите в порядке убывания одинаковые делители этих чисел. б) Найдите все простые числа, меньшие 50.
а) Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Одинаковые делители в порядке убывания: 12, 6, 4, 3, 2, 1. б) Простые числа меньше 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (всего 15).
3.364. Выпишите из чисел 21, 27, 33, 35, 44, 63, 68, 73, 75 те, которые: а) кратны 7; б) кратны 9; в) не кратны 4; г) не кратны 3.
а) Кратные 7: 21, 35, 63. б) Кратные 9: 27, 63. в) Кратные 4 — это 44 и 68, остальные не кратны: 21, 27, 33, 35, 63, 73, 75. г) Кратные 3: 21, 27, 33, 63, 75; не кратны 3: 35, 44, 68, 73.
3.365. Найдите наименьшее число, которое кратно каждому из трёх чисел: а) 2, 5 и 15; б) 2, 4 и 5; в) 3, 6 и 12; г) 2, 7 и 5.
а) 30 (30 : 2 = 15, 30 : 5 = 6, 30 : 15 = 2). б) 20. в) 12. г) 70 (2 · 5 · 7). Ответ: 30; 20; 12; 70.
3.366. Выполните деление с остатком: а) 468 : 16; б) 597 : 13; в) 4920 : 40.
а) 468 = 16 · 29 + 4: частное 29, остаток 4. б) 597 = 13 · 45 + 12: частное 45, остаток 12. в) 4920 = 40 · 123 + 0: частное 123, остаток 0.
3.367. Площадь поля 273 а. Площадь луга на 48 а меньше площади поля, а площадь леса в 3 раза больше площади луга. Чему равна площадь поля, луга и леса вместе?
Луг: 273 – 48 = 225 (а). Лес: 225 · 3 = 675 (а). Всего 273 + 225 + 675 = 1173 (а). Ответ: 1173 а (11 га 73 а).
3.368. Найдите значение выражения: а) 49 · 64 + 5280 : 80; б) 305 · 86 – 93 100 : 38; в) (564 : 47 + 2592 : 72) · 250 – 200; г) (9095 : 85 + 33) · (7344 : 36 – 144).
а) 3136 + 66 = 3202. б) 26 230 – 2450 = 23 780. в) (12 + 36) · 250 – 200 = 12 000 – 200 = 11 800. г) (107 + 33) · (204 – 144) = 140 · 60 = 8400. Ответ: 3202; 23 780; 11 800; 8400.
3.369. Попробуйте сформулировать, какое свойство открыл шестилетний А. Н. Колмогоров (1² = 1, 2² = 1 + 3, 3² = 1 + 3 + 5, 4² = 1 + 3 + 5 + 7). Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.
Свойство: квадрат натурального числа n равен сумме первых n последовательных нечётных чисел. Проверка: 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 ✓; 6² = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 ✓; 7² = 49 = 36 + 13 = 49 ✓; 8² = 64 = 49 + 15 = 64 ✓. Свойство выполняется.
Проверочная работа (п. 18). Выпишите номера верных утверждений:
1. Число 2 является делителем числа 8.
2. Число 8 является делителем числа 2.
3. Число 2 кратно числу 8.
4. Число 8 кратно числу 2.
5. Число 16 кратно числам 2 и 8.
6. Числа 2 и 8 не являются делителями 16.
7. Среди чисел 2, 8 и 16 нет простых чисел.
8. Любое натуральное число имеет бесконечное число делителей.
1 — верно (8 = 2 · 4). 2 — неверно (2 на 8 нацело не делится). 3 — неверно (2 не кратно 8). 4 — верно (8 = 2 · 4). 5 — верно (16 = 2 · 8 и 16 = 8 · 2). 6 — неверно (16 = 2 · 8, оба делители). 7 — неверно (2 — простое). 8 — неверно: у любого числа конечное число делителей (бесконечно много у него кратных). Ответ: 1, 4, 5.