§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 18. Делители и кратные — с. 120
3.347. Докажите, что число 638 является делителем числа 197 142, а число 70 632 кратно числу 218.
Докажем делением. 197 142 : 638 = 309 без остатка (638 · 309 = 197 142), значит 638 — делитель 197 142. 70 632 : 218 = 324 без остатка (218 · 324 = 70 632), значит 70 632 кратно 218.
3.348. На координатной прямой отмечены числа a и b (рис. 3.21). Отметьте на этой прямой по три числа, кратные числам a и b.
Кратные числа a — это a · 2, a · 3, a · 4: откладываем отрезок 0a ещё 1, 2, 3 раза. Кратные числа b — b · 2, b · 3, b · 4: откладываем отрезок 0b. По рисунку b примерно вдвое больше a, поэтому точка 2b почти совпадает с 4a, а 4b — с 8a. (В самой книге числа a, b отмечены по рисунку, поэтому положение отметок приблизительное.)
3.349. Каждое из чисел 6, 28, 496 равно сумме всех его делителей, не считая самого числа. Проверьте это утверждение. Такие числа называют совершенными. Следующее совершенное число 8128.
6: делители 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6. 28: делители 1, 2, 4, 7, 14; 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. 496: делители 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Утверждение верно. Для 8128 (проверка компьютером): сумма его делителей, кроме него самого, тоже равна 8128.
3.350. Каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого. Проверьте это утверждение.
Делители 220 (кроме него самого): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110; сумма 284. Делители 284 (кроме него самого): 1, 2, 4, 71, 142; сумма 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Утверждение верно (такие числа называют дружественными).
3.351. Петя задумал число, меньшее 50. Какое число задумал Петя, если это число называют и при счёте четвёрками, и при счёте семёрками?
Число называют при счёте четвёрками — значит, оно кратно 4; при счёте семёрками — кратно 7. Кратные 4 и 7 одновременно: 28, 56, … Меньше 50 только 28. Ответ: 28.
3.352. Кадр старой фотоплёнки изображён на рисунке 3.22 в натуральную величину. Определите размер фотографии при увеличении в пять раз; в десять раз. При каком увеличении получится самая большая фотография на листе бумаги, размер которого 210 × 296 мм?
Размер надо измерить линейкой в книге. По скану кадр без перфорации примерно 38 × 29 мм (в вашей книге возможны чуть другие значения — подставьте свои). Увеличение в 5 раз: ≈ 190 × 145 мм. Увеличение в 10 раз: ≈ 380 × 290 мм — на лист не поместится. Для листа 210 × 296 мм разворачиваем фотографию длинной стороной вдоль 296 мм: во сколько раз можно увеличить, ограничивают оба размера: 296 : 38 ≈ 7,8 и 210 : 29 ≈ 7,2, значит, наибольшее целое увеличение — в 7 раз (≈ 266 × 203 мм). Это приблизительный ответ: он зависит от измерения.
3.353. Вычислите. а) 5 + 18, 123 + 7, 66 + 34, 78 + 97; б) 276 – 13, 80 – 25, 630 – 60, 123 – 34; в) 12 · 4, 70 · 10, 25 · 4, 14 · 3; г) 60 : 10, 210 : 7, 204 : 2, 150 : 25.
а) 23; 130; 100; 175. б) 263; 55; 570; 89. в) 48; 700; 100; 42. г) 6; 30; 102; 6.
3.354. На координатной прямой отмечены числа 1 и b (рис. 3.23). С помощью циркуля отметьте на луче числа: b + 2; 3b; 2b + 3.
Раствором циркуля берём единичный отрезок (от 0 до 1) и отрезок 0b. b + 2: от точки b откладываем вправо два единичных отрезка. 3b: от 0 откладываем отрезок 0b три раза подряд. 2b + 3: сначала откладываем 0b два раза (получаем 2b), затем от этой точки три единичных отрезка. На рисунке b ≈ 2,3, тогда b + 2 ≈ 4,3; 3b ≈ 6,9; 2b + 3 ≈ 7,6. Точки отмечены красным.
3.355. Назовите числа в пустых ячейках, чтобы вычисления были верными. а) из числа 256 стрелки с делением на 2, 128, 4, 8, 16, 64; б) цепочка 8, +8, +8, +8, +8, и две дуги: сверху от 8 к последнему числу умножение на пустое число, снизу от 8 ко второму числу после «+8» умножение на пустое число.
а) 256 : 2 = 128; 256 : 128 = 2; 256 : 4 = 64; 256 : 8 = 32; 256 : 16 = 16; 256 : 64 = 4. б) По цепочке: 8 → 16 → 24 → 32 → 40. Верхняя дуга ведёт от 8 к 40: 8 · 5 = 40, в кружке 5. Нижняя дуга ведёт от 8 к 24 (вторая ячейка после 8): 8 · 3 = 24, в кружке 3. Числа в ячейках: 16, 24, 32 и 40 в конце. (Положение нижней дуги определено по рисунку: она заканчивается на второй ячейке цепочки.)
3.356. Найдите значение выражения: а) 34 + 25; 172 + 28; 59 + 37; 4587 + 764; б) 57 – 13; 80 – 34; 123 – 18; 10 273 – 549; в) 24 · 3; 302 · 7; 26 · 37; 45 · 206; г) 35 : 7; 84 : 4; 608 : 19; 2052 : 38.
а) 59; 200; 96; 5351. б) 44; 46; 105; 9724. в) 72; 2114; 962; 9270. г) 5; 21; 32; 54.
3.357. Чему равны неполное частное q и остаток r при делении: а) 258 на 15; б) 4238 на 14; в) 1073 на 39; г) 1952 на 61?
а) 258 = 15 · 17 + 3: q = 17, r = 3. б) 4238 = 14 · 302 + 10: q = 302, r = 10. в) 1073 = 39 · 27 + 20: q = 27, r = 20. г) 1952 = 61 · 32 + 0: q = 32, r = 0 (делится нацело).