§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 17. Степень с натуральным показателем — с. 115
3.303. Представьте в виде произведения степень: а) (3 + c)⁴; б) (b – 4)²; в) (x + y)²; г) (a – b)³.
Показатель показывает число одинаковых множителей. а) (3 + c)(3 + c)(3 + c)(3 + c). б) (b – 4)(b – 4). в) (x + y)(x + y). г) (a – b)(a – b)(a – b). Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.304. Вычислите: а) 35²; б) 100²; в) 10³; г) 11³; д) 15³; е) 103².
а) 35 · 35 = 1225. б) 100 · 100 = 10 000. в) 10 · 10 · 10 = 1000. г) 11 · 11 · 11 = 121 · 11 = 1331. д) 15 · 15 · 15 = 225 · 15 = 3375. е) 103 · 103 = 10 609. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.305. Найдите значение степени: а) 2⁶; б) 10⁵; в) 1²¹; г) 3⁴; д) 53¹; е) 3⁵.
а) 2⁶ = 64. б) 10⁵ = 100 000. в) 1²¹ = 1 (единица в любой степени равна 1). г) 3⁴ = 81. д) 53¹ = 53 (первая степень равна самому числу). е) 3⁵ = 243. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.306. Найдите значение выражения: а) 4² + 5; б) 4 + 5²; в) (4 + 5)²; г) 4² + 5².
Сначала возводим в степень (или считаем скобки), потом складываем. а) 16 + 5 = 21. б) 4 + 25 = 29. в) 9² = 81. г) 16 + 25 = 41.
3.307. Вычислите: а) 4³ + 6; б) 6³ + 4; в) (6 + 4)³; г) (6³ – 4³) : (6 – 4).
а) 64 + 6 = 70. б) 216 + 4 = 220. в) 10³ = 1000. г) (216 – 64) : 2 = 152 : 2 = 76. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.308. Чему равно значение выражения: а) 2³ + 3²; б) 10³ : 5²; в) 7² · 2⁴; г) 7³ – 3⁵?
а) 8 + 9 = 17. б) 1000 : 25 = 40. в) 49 · 16 = 784. г) 343 – 243 = 100. Оговорка: в г) показатели очень мелкие; прочитаны как 3 и 5, при этом разность получается натуральной (100). Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.309. Найдите значение выражения: а) 10² : (6² + 2⁶); б) (10² – 4³) · 3³; в) 2 · 6³ – 7³; г) 4 · 3⁴ + 2⁸.
а) 6² + 2⁶ = 36 + 64 = 100; 100 : 100 = 1. б) 10² – 4³ = 100 – 64 = 36; 3³ = 27; 36 · 27 = 972. в) 2 · 216 = 432; 432 – 343 = 89. г) 4 · 81 = 324; 2⁸ = 256; 324 + 256 = 580. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.310. Установите, верно ли равенство: а) 12² + 9² = (12 + 9)²; б) 13² – 5² = (13 – 5)²; в) 12² + 9² = 15²; г) 13² – 5² = 12².
а) Слева 144 + 81 = 225, справа 21² = 441 — неверно. б) Слева 169 – 25 = 144, справа 8² = 64 — неверно. в) 144 + 81 = 225 = 15² — верно. г) 169 – 25 = 144 = 12² — верно. Вывод: сумма (разность) квадратов, как правило, не равна квадрату суммы (разности).
3.311. Установите, верно ли равенство: а) 5³ · 2³ = 10³; б) 3³ · 3² = 3⁶; в) 5² · 2² = (5 · 2)⁴; г) 3³ · 3² = 3⁵.
а) 125 · 8 = 1000 = 10³ — верно. б) 3³ · 3² = 27 · 9 = 243 = 3⁵, а 3⁶ = 729 — неверно. в) 25 · 4 = 100 = 10², а (5 · 2)⁴ = 10 000 — неверно (при показателе 2 справа равенство было бы верным). г) 3³ · 3² = 243 = 3⁵ — верно. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.312. Сравните значения выражений: а) 3 · 2³ и (3 · 2)³; б) 2⁴ · 2 и 2⁴; в) (4 · 3)² и 4² · 3²; г) 2³ · 2⁵ и 2⁸.
а) 3 · 8 = 24, (3 · 2)³ = 216; 24 < 216. б) 16 · 2 = 32 и 16; 32 > 16. в) 12² = 144 и 16 · 9 = 144; значения равны. г) 8 · 32 = 256 и 2⁸ = 256; равны. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.313. Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение a, если: а) 144 = a²; б) a² = 169; в) a² = 1 000 000; г) 216 = a³; д) a³ = 729.
а) 12² = 144, a = 12. б) 13² = 169, a = 13. в) 1000² = 1 000 000, a = 1000. г) 6³ = 216, a = 6. д) 9³ = 729, a = 9 (эти значения есть в таблицах на стр. 113; квадрат миллиона получается из 10⁶ = (10³)²).
3.314. Вычислите: а) 4 · 10²; б) 16 · 10⁴; в) 9 · 10⁶; г) 108 · 10⁷.
Число 10ⁿ — единица с n нулями. а) 4 · 100 = 400. б) 16 · 10 000 = 160 000. в) 9 · 1 000 000 = 9 000 000. г) 108 · 10 000 000 = 1 080 000 000. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.315. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: а) 1 236 078; б) 33 033 330; в) 11 101 110 100; г) 246 135 789 000.
а) 1 · 10⁶ + 2 · 10⁵ + 3 · 10⁴ + 6 · 10³ + 7 · 10 + 8. б) 3 · 10⁷ + 3 · 10⁶ + 3 · 10⁴ + 3 · 10³ + 3 · 10² + 3 · 10. в) 10¹⁰ + 10⁹ + 10⁸ + 10⁶ + 10⁵ + 10⁴ + 10². г) 2 · 10¹¹ + 4 · 10¹⁰ + 6 · 10⁹ + 10⁸ + 3 · 10⁷ + 5 · 10⁶ + 7 · 10⁵ + 8 · 10⁴ + 9 · 10³. Нулевые разряды не пишем.
3.316. Напишите число, представленное суммой разрядных слагаемых: а) 10⁷ + 9 · 10⁶ + 5 · 10⁴ + 10²; б) 6 · 10⁹ + 2 · 10⁸ + 3 · 10⁵ + 10³ + 4; в) 9 · 10⁵ + 7 · 10⁴ + 8 · 10³ + 5 · 10; г) 10¹⁰ + 10⁷ + 10⁴ + 10 + 1.
Разряды, которых нет в сумме, заполняем нулями. а) 19 050 100. б) 6 200 301 004. в) 978 050. г) 10 010 010 011. Примечание: показатели степени в скане очень мелкие, прочитаны с увеличения; если у вас в книге другой показатель, значение пересчитывается по тому же правилу.
3.317. Запишите числа, выражающие примерные массы планет (в тоннах), в виде a · 10ⁿ, где a — натуральное число: Меркурий 330 000 000 000 000 000 000; Венера 4 900 000 000 000 000 000 000; Земля 6 000 000 000 000 000 000 000; Марс 640 000 000 000 000 000 000; Сатурн 568 000 000 000 000 000 000 000; Юпитер 1 876 600 000 000 000 000 000 000; Нептун 101 600 000 000 000 000 000 000; Уран 87 000 000 000 000 000 000 000.
Вынесем конечные нули в степень десяти: число нулей — показатель n. Меркурий: 33 · 10¹⁹. Венера: 49 · 10²⁰. Земля: 6 · 10²¹. Марс: 64 · 10¹⁹. Сатурн: 568 · 10²¹. Юпитер: 18 766 · 10²⁰. Нептун: 1016 · 10²⁰. Уран: 87 · 10²¹. Запись не единственна: например, Меркурий можно записать как 330 · 10¹⁸. Число нулей считалось по группам цифр в таблице; в заголовке столбца единицы измерения плохо читаются, по смыслу это тонны.