§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 15. Упрощение выражений — с. 103
3.221. При приготовлении яблочного сока получают 7 частей сока и 2 части жмыха (по массе). Сколько сока получится из 18 ц яблок?
Пусть масса одной части x ц. 7x + 2x = 18; 9x = 18; x = 2 (ц). Сока 7 · 2 = 14 (ц) (жмыха 2 · 2 = 4 ц; 14 + 4 = 18). Ответ: 14 ц.
3.222. Для изготовления казеинового клея берут 11 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 4 части казеина (по массе). Сколько граммов каждого вещества нужно взять, чтобы приготовить 720 г клея?
Всего частей 11 + 5 + 4 = 20. Масса одной части: 720 : 20 = 36 (г). Воды 36 · 11 = 396 (г), нашатырного спирта 36 · 5 = 180 (г), казеина 36 · 4 = 144 (г). Проверка: 396 + 180 + 144 = 720.
3.223.
1. В блокадном Ленинграде паёк хлеба, который получал военнослужащий, состоял из 6 частей ржаной муки, 2 частей целлюлозы и жмыха, 1 части отрубей и 1 части прочих примесей. Сколько граммов ржаной муки содержал паёк массой 300 г, который получал военнослужащий?
2. В блокадном Ленинграде норма хлеба на одного ребёнка была в 2 раза меньше нормы на одного рабочего завода и в 4 раза меньше нормы солдата первой линии обороны. Сколько граммов хлеба полагалось ребёнку, если буханка массой 1 кг делилась на двоих детей, одного рабочего и одного солдата первой линии обороны?
1) Всего частей: 6 + 2 + 1 + 1 = 10. Одна часть: 300 : 10 = 30 (г). Ржаной муки: 30 · 6 = 180 (г). Ответ: 180 г. 2) Пусть норма ребёнка x г. Тогда норма рабочего 2x, норма солдата 4x. Буханка 1 кг = 1000 г делится на двух детей, одного рабочего и одного солдата: x + x + 2x + 4x = 1000; 8x = 1000; x = 125. Ответ: ребёнку полагалось 125 г хлеба (рабочему 250 г, солдату 500 г).
3.224. Мороженое «Пломбир» содержит 84 части молочных продуктов (молоко и сливки), 14 частей сахара, а 2 части составляют ванилин и желатин. Сколько нужно сахара для приготовления 5200 кг мороженого?
Всего частей: 84 + 14 + 2 = 100. Одна часть: 5200 : 100 = 52 (кг). Сахара 14 частей: 52 · 14 = 728 (кг). Ответ: 728 кг.
3.225. Катя нашла в 2 раза больше грибов, чем Петя. После того как Петя нашёл ещё 17 грибов, у ребят оказалось всего 89 грибов. Сколько грибов нашёл Петя, а сколько — Катя?
Пусть сначала Петя нашёл x грибов, тогда Катя 2x. x + 17 + 2x = 89; 3x = 72; x = 24. Катя нашла 2 · 24 = 48 грибов. Петя сначала нашёл 24 гриба и ещё 17, то есть всего 24 + 17 = 41 гриб. Проверка: 41 + 48 = 89. Ответ: Петя — 41 гриб (24 + 17), Катя — 48 грибов.
3.226. Составьте уравнение по числовому равенству 4 · 13 + 5 · 13 + 12 · 13 + 3 · 13 = 312, если известно, что его корень равен 13. Придумайте задачу по этому уравнению.
Заменим повторяющееся число 13 буквой x: 4x + 5x + 12x + 3x = 312, откуда 24x = 312 и x = 13 (проверка: 24 · 13 = 312). Задача (образец): в четыре магазина привезли 4, 5, 12 и 3 одинаковые коробки печенья; всего привезли 312 кг печенья. Сколько килограммов в одной коробке? 4x + 5x + 12x + 3x = 312; x = 13 (кг).
3.227. Вычислите. а) 25 · 3, :15, +29, :17; б) 15 · 4, +16, :19, –4; в) 100 : 25, ·17, :2, +26; г) 16 · 3, –12, :12, ·23; д) 54 : 18, +27, :15, ·29.
а) 25 · 3 = 75; 75 : 15 = 5; 5 + 29 = 34; 34 : 17 = 2. б) 15 · 4 = 60; 60 + 16 = 76; 76 : 19 = 4; 4 – 4 = 0. в) 100 : 25 = 4; 4 · 17 = 68; 68 : 2 = 34; 34 + 26 = 60. г) 16 · 3 = 48; 48 – 12 = 36; 36 : 12 = 3; 3 · 23 = 69. д) 54 : 18 = 3; 3 + 27 = 30; 30 : 15 = 2; 2 · 29 = 58. Ответ: а) 2; б) 0; в) 60; г) 69; д) 58.
3.228. Вычислите, выбирая наиболее удобный способ: а) 8 · 46 · 125; б) 24 · 13 · 125; в) 71 + 785 + 94 + 29 + 215.
а) (8 · 125) · 46 = 1000 · 46 = 46 000. б) (24 · 125) · 13 = 3000 · 13 = 39 000. в) (71 + 29) + (785 + 215) + 94 = 100 + 1000 + 94 = 1194.
3.229. Решите уравнение: а) 37 = 37 + a; б) 37 – a = 37; в) a – 37 = 37; г) 0 = 37 – a.
а) 37 + a = 37; a = 0. б) вычитаемое a = 37 – 37 = 0. в) a = 37 + 37 = 74. г) 37 – a = 0; a = 37.
3.230. Подберите корни уравнения: а) x – 234 = 3856 – 234; б) y : 98 = 1274 : 98; в) 2018z = 24 · 2018.
Части равенства отличаются только одним множителем (слагаемым), значит: а) x = 3856 (из x и 3856 вычитают одно и то же число 234). б) y = 1274 (оба числа делят на 98). в) z = 24 (оба числа умножены на 2018). Проверка: 3856 – 234 = 3856 – 234 и т. д.
3.231. Придумайте задачу по уравнению: а) 4a + a = 95; б) c + c + c = c + 72; в) 4b + 6b = 120.
Образцы. а) У Лены a наклеек, а у Саши в 4 раза больше. Всего у них 95 наклеек. Сколько наклеек у Лены? 5a = 95; a = 19. б) Три одинаковых пакета яблок на 72 кг тяжелее одного такого пакета. Сколько весит пакет? 3c = c + 72; 2c = 72; c = 36 (кг). в) В 4 коробках по b карандашей и в 6 коробках по b карандашей, всего 120 карандашей. Сколько в коробке? 10b = 120; b = 12.
3.232. В каких случаях может получиться число 0 в результате сложения, вычитания, умножения, деления двух чисел?
Сложение: 0 получается только если оба слагаемых равны 0 (0 + 0 = 0). Вычитание: если уменьшаемое равно вычитаемому (7 – 7 = 0). Умножение: если хотя бы один из множителей равен 0 (0 · 5 = 0, 5 · 0 = 0). Деление: если делимое равно 0, а делитель не равен 0 (0 : 5 = 0).
3.233. Сумма семи натуральных чисел равна произведению этих чисел. Найдите эти семь чисел. Попробуйте найти ещё решение.
Подходят числа 1, 1, 1, 1, 1, 2, 7: сумма 5 + 2 + 7 = 14, произведение 1 · 2 · 7 = 14. Второе решение: 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4: сумма 5 + 3 + 4 = 12, произведение 3 · 4 = 12. Если среди семи чисел пять единиц, а остальные два a и b, то условие 5 + a + b = ab даёт (a – 1)(b – 1) = 6, то есть пары (2, 7) и (3, 4).
3.234. В библиотеке за 4 дня оцифровали 23 книги. В каждый следующий день книг оцифровывали больше, чем в предыдущий, и в четвёртый день оцифровали вчетверо больше, чем в первый. Сколько книг оцифровали в каждый из этих четырёх дней?
Пусть в первый день a книг, в четвёртый 4a, во второй b, в третий c, причём a < b < c < 4a и a + b + c + 4a = 23, то есть b + c = 23 – 5a. При a = 1: b + c = 18, но b и c меньше 4 — невозможно. При a = 2: b + c = 13 и 2 < b < c < 8: подходят b = 6, c = 7. При a = 3: b + c = 8, а при b > 3 и c > b сумма не меньше 9 — невозможно. Ответ: 2, 6, 7 и 8 книг (2 + 6 + 7 + 8 = 23; 8 = 4 · 2).