§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 15. Упрощение выражений — с. 101
3.196. С одного аэродрома одновременно в противоположных направлениях вылетели два вертолёта. Скорость одного из них равна 220 км/ч, а другого — 240 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут вертолёты через 3 ч?
Вертолёты удаляются друг от друга со скоростью 220 + 240 = 460 (км/ч). Через 3 ч расстояние 460 · 3 = 1380 (км). Другой способ: 220 · 3 + 240 · 3 = 660 + 720 = 1380 (км). Ответ: 1380 км.
3.197. Составьте задачу на движение по выражению: а) (12 + 15) · 4; б) 108 : (12 + 15); в) 108 : 4 – 12.
Образцы задач. а) Из одного посёлка в противоположных направлениях одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 12 км/ч и 15 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 4 ч? (12 + 15) · 4 = 108 (км). б) Из двух городов, расстояние между которыми 108 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода со скоростями 12 км/ч и 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 108 : (12 + 15) = 4 (ч). в) Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 108 км, и встретились через 4 ч. Скорость первого 12 км/ч. Найдите скорость второго. 108 : 4 – 12 = 27 – 12 = 15 (км/ч).
3.198. Представьте в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения: а) (54 + x) · 3; б) (y – 6) · 8; в) 13(18 – a); г) 31(20 + b).
а) 54 · 3 + x · 3 = 162 + 3x. б) y · 8 – 6 · 8 = 8y – 48. в) 13 · 18 – 13 · a = 234 – 13a. г) 31 · 20 + 31 · b = 620 + 31b.
3.199. Найдите, при каких значениях c верно равенство: а) 5(4 + c) = 20 + 5c; б) (4 + 5)c = 4c + 5c; в) (c + 8) · 5 = 7 · 5 + 8 · 5; г) (c + 4) · 3 = 2 · 3 + 4 · 3; д) (7 – 3)c = 7c – 3c; е) (7 – 3)c = 7c – 3 · 6.
а) 5(4 + c) = 20 + 5c — это распределительное свойство, равенство верно при любом c. б) (4 + 5)c = 4c + 5c — верно при любом c. в) Справа 7 · 5 + 8 · 5 = (7 + 8) · 5, значит, c + 8 = 7 + 8, c = 7. г) Справа 2 · 3 + 4 · 3 = (2 + 4) · 3, значит, c + 4 = 2 + 4, c = 2. д) (7 – 3)c = 7c – 3c — верно при любом c. е) 4c = 7c – 18; 7c – 4c = 18; 3c = 18; c = 6 (проверка: 4 · 6 = 24 и 7 · 6 – 18 = 24).
3.200. Запишите в виде произведения выражение: а) 47a + 13a; б) 34y + 6y; в) x + 61x; г) t + 65t; д) 47p – 27p; е) 92g – 90g; ж) 102l – l; з) 10 000k – k.
Выносим общий множитель за скобки. а) (47 + 13)a = 60a. б) (34 + 6)y = 40y. в) x + 61x = (1 + 61)x = 62x. г) (1 + 65)t = 66t. д) (47 – 27)p = 20p. е) (92 – 90)g = 2g. ж) (102 – 1)l = 101l. з) (10 000 – 1)k = 9999k.
3.201. Масса чашки a г, а масса блюдца b г. Что означает выражение: а) 12a + 12b; б) 12(a + b); в) 10b – 10a?
а) 12a + 12b — масса 12 чашек плюс масса 12 блюдец (г). б) 12(a + b) — масса 12 комплектов «чашка с блюдцем»; это то же самое, что в пункте а), так как 12a + 12b = 12(a + b). в) 10b – 10a — на сколько граммов 10 блюдец тяжелее 10 чашек (равно 10(b – a)).
3.202. а) Из двух деревень, расстояние между которыми 26 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если первый автобус проезжает x км за час, а второй — y км за час?
Составьте выражение по условию задачи. б) Два друга одновременно вышли из дома навстречу друг другу. Какое расстояние будет между ними через 2 мин, если первый проходил x м в минуту, второй — y м в минуту, а расстояние между домами 800 м?
а) Автобусы удаляются друг от друга в противоположные стороны от деревень: за 3 ч первый проедет 3x км, второй — 3y км. Расстояние между ними 26 + 3x + 3y = 26 + 3(x + y) (км). б) Друзья идут навстречу друг другу, расстояние сокращается: за 2 мин первый пройдёт 2x м, второй — 2y м. Расстояние между ними 800 – 2x – 2y = 800 – 2(x + y) (м).
3.203. Чему равно значение выражения: а) 57a + 43a при a = 321; 998; б) 381p – 181p при p = 59; 623?
а) 57a + 43a = 100a. При a = 321: 32 100. При a = 998: 99 800. б) 381p – 181p = 200p. При p = 59: 200 · 59 = 11 800. При p = 623: 200 · 623 = 124 600.
3.204. Чему равно значение выражения: а) 24x + 24y, если x = 32, y = 8; б) 13a – 13b, если a = 407, b = 207?
а) 24x + 24y = 24(x + y) = 24 · (32 + 8) = 24 · 40 = 960. б) 13a – 13b = 13(a – b) = 13 · (407 – 207) = 13 · 200 = 2600.
3.205. Найдите корень уравнения: а) 6a + 6a = 636; б) 15b – 8b = 721; в) 9t + t = 7000; г) 10s – s = 540; д) l + 3l + 6l = 1800; е) 5l + 4l – l = 7200.
а) 12a = 636; a = 53. б) 7b = 721; b = 103. в) 10t = 7000; t = 700. г) 9s = 540; s = 60. д) 10l = 1800; l = 180. е) 8l = 7200; l = 900. Проверка, например б): 15 · 103 – 8 · 103 = 1545 – 824 = 721.
3.206. При каком значении буквы: а) выражение 9z меньше 5z на 68; б) выражение 27p больше 9p на 126; в) разность 25c и 15c равна 12 120; г) сумма 2x и 9x равна 5533?
а) Как напечатано, 5z – 9z = 68 невозможно: при любом натуральном z число 9z больше 5z, так что у условия «9z меньше 5z» корней нет; вероятно, имелось в виду «5z меньше 9z на 68»: 9z – 5z = 68; 4z = 68; z = 17. б) 27p – 9p = 126; 18p = 126; p = 7. в) 25c – 15c = 12 120; 10c = 12 120; c = 1212. г) 2x + 9x = 5533; 11x = 5533; x = 503.
3.207. Запишите равенство и найдите, при каких значениях буквы это равенство верно: а) разность 84a и 75a равна 108; б) сумма 6d и 2d равна 96; в) z меньше, чем 4z, на 72; г) 28m на 43 меньше, чем 211; д) 9k вдвое больше, чем 216; е) 45 в 16 раз меньше 10q.
а) 84a – 75a = 108; 9a = 108; a = 12. б) 6d + 2d = 96; 8d = 96; d = 12. в) 4z – z = 72; 3z = 72; z = 24. г) 211 – 28m = 43; 28m = 168; m = 6. д) 9k = 216 · 2 = 432; k = 48. е) 10q : 45 = 16, то есть 10q = 45 · 16 = 720; q = 72.
3.208. Найдите длину каждого отрезка на рисунке 3.13, составив уравнение. (AB = 6t см, BC = 11t см, AC = 102 см.)
AB + BC = AC: 6t + 11t = 102; 17t = 102; t = 6. Тогда AB = 6 · 6 = 36 (см), BC = 11 · 6 = 66 (см). Проверка: 36 + 66 = 102.
3.209. Периметр прямоугольника на рисунке 3.14 равен 374 дм. Найдите его стороны. (Стороны 4t дм и 7t дм.)
P = 2 · (4t + 7t) = 22t; 22t = 374; t = 17. Стороны: 4 · 17 = 68 (дм) и 7 · 17 = 119 (дм). Проверка: (68 + 119) · 2 = 187 · 2 = 374.