§ 3. Умножение и деление натуральных чисел. 15. Упрощение выражений — с. 100
3.182. Глубокая тарелка стоит 190 р., а мелкая — 160 р. Купили 12 глубоких и 12 мелких тарелок. Сколько заплатили за покупку?
На сколько купленные глубокие тарелки дороже мелких?
Заплатили (190 + 160) · 12 = 350 · 12 = 4200 (р.). Глубокие дороже мелких на (190 – 160) · 12 = 30 · 12 = 360 (р.). Проверка: 190 · 12 = 2280, 160 · 12 = 1920; 2280 + 1920 = 4200; 2280 – 1920 = 360.
3.183. За 1 ч художник расписывает 6 ёлочных игрушек. В первый день художник работал 6 ч, а во второй — 7 ч. Сколько игрушек расписал художник за два дня?
На сколько меньше игрушек расписал художник в первый день, чем во второй?
За два дня: 6 · (6 + 7) = 6 · 13 = 78 (игрушек). Разность: 6 · (7 – 6) = 6 · 1 = 6 (игрушек). Проверка: 6 · 6 = 36 и 6 · 7 = 42; 36 + 42 = 78; 42 – 36 = 6.
3.184. Объясните решение: 13 · 5 = (10 + 3) · 5 = 10 · 5 + 3 · 5 = 50 + 15 = 65. Решите с объяснением: а) 12 · 8; б) 34 · 6.
Объяснение: число 13 представили суммой 10 + 3, то есть удобной суммой круглого и небольшого числа, затем применили распределительное свойство: каждое слагаемое умножили на 5 и результаты сложили. а) 12 · 8 = (10 + 2) · 8 = 10 · 8 + 2 · 8 = 80 + 16 = 96. б) 34 · 6 = (30 + 4) · 6 = 30 · 6 + 4 · 6 = 180 + 24 = 204.
3.185. С помощью распределительного свойства умножения найдите значение произведения: а) 82 · 7; б) 8 · 61; в) 4 · 302; г) 5 · 606.
а) 82 · 7 = (80 + 2) · 7 = 560 + 14 = 574. б) 8 · 61 = 8 · (60 + 1) = 480 + 8 = 488. в) 4 · 302 = 4 · (300 + 2) = 1200 + 8 = 1208. г) 5 · 606 = 5 · (600 + 6) = 3000 + 30 = 3030.
3.186. Объясните решение: 29 · 4 = (30 – 1) · 4 = 30 · 4 – 1 · 4 = 120 – 4 = 116. Решите с объяснением: а) 38 · 5; б) 69 · 6.
Объяснение: 29 заменили разностью 30 – 1 (число, близкое к круглому), применили распределительное свойство относительно вычитания: умножили на 4 и уменьшаемое, и вычитаемое и вычли. а) 38 · 5 = (40 – 2) · 5 = 40 · 5 – 2 · 5 = 200 – 10 = 190. б) 69 · 6 = (70 – 1) · 6 = 420 – 6 = 414.
3.187. С помощью распределительного свойства умножения найдите значение произведения: а) 8 · 79; б) 6 · 198; в) 5 · 497; г) 499 · 25.
а) 8 · 79 = 8 · (80 – 1) = 640 – 8 = 632. б) 6 · 198 = 6 · (200 – 2) = 1200 – 12 = 1188. в) 5 · 497 = 5 · (500 – 3) = 2500 – 15 = 2485. г) 499 · 25 = (500 – 1) · 25 = 12 500 – 25 = 12 475.
3.188. С помощью распределительного свойства умножения найдите значение произведения: а) 36 · 101; б) 22 · 25; в) 16 · 99; г) 45 · 18.
а) 36 · 101 = 36 · (100 + 1) = 3600 + 36 = 3636. б) 22 · 25 = (20 + 2) · 25 = 500 + 50 = 550. в) 16 · 99 = 16 · (100 – 1) = 1600 – 16 = 1584. г) 45 · 18 = 45 · (20 – 2) = 900 – 90 = 810.
3.189. Вычислите: а) (25 + 12) · 4; б) (100 + 30 + 2) · 3; в) (200 – 20) · 5; г) (300 – 10 – 1) · 6.
а) 25 · 4 + 12 · 4 = 100 + 48 = 148. б) 100 · 3 + 30 · 3 + 2 · 3 = 300 + 90 + 6 = 396. в) 200 · 5 – 20 · 5 = 1000 – 100 = 900. г) 300 · 6 – 10 · 6 – 1 · 6 = 1800 – 60 – 6 = 1734.
3.190. Восстановите недостающую часть равенства: а) (45 + ?) · 4 = 45 · ? + 12 · 4; б) (125 – 9) · ? = 125 · 8 – ? · 8; в) (? + ?) · 6 = 70 · 6 + 3 · 6; г) (? – ?) · 8 = 40 · 8 – 2 · 8.
Левая часть записывается по распределительному свойству (a ± b)c = ac ± bc. а) (45 + 12) · 4 = 45 · 4 + 12 · 4. б) (125 – 9) · 8 = 125 · 8 – 9 · 8. в) (70 + 3) · 6 = 70 · 6 + 3 · 6. г) (40 – 2) · 8 = 40 · 8 – 2 · 8.
3.191. Верно ли равенство: а) (75 + 22) · 4 = 75 · 4 + 22 · 4; б) (100 – 7) · 8 = 100 – 7 · 8; в) (62 + 15) · 2 = 62 · 2 + 15; г) 80 · 3 – 2 · 3 = (80 – 2) · 3?
а) Верно: так записывается распределительное свойство (97 · 4 = 388 и 300 + 88 = 388). б) Неверно: на 8 нужно умножить и 100, и 7: (100 – 7) · 8 = 100 · 8 – 7 · 8 = 744, а 100 – 7 · 8 = 44. в) Неверно: на 2 нужно умножить и 15: (62 + 15) · 2 = 62 · 2 + 15 · 2 = 154, а 62 · 2 + 15 = 139. г) Верно: 80 · 3 – 2 · 3 = 234 и (80 – 2) · 3 = 78 · 3 = 234.
3.192. Найдите значение выражения: а) 47 · 34 + 53 · 34; б) 304 · 87 – 204 · 87; в) 962 · 54 + 54 · 38; г) 281 · 72 – 181 · 72; д) 438 · 90 – 238 · 90; е) 801 · 6 + 94 · 801.
Выносим общий множитель за скобки. а) (47 + 53) · 34 = 100 · 34 = 3400. б) (304 – 204) · 87 = 100 · 87 = 8700. в) 54 · (962 + 38) = 54 · 1000 = 54 000. г) (281 – 181) · 72 = 100 · 72 = 7200. д) (438 – 238) · 90 = 200 · 90 = 18 000. е) 801 · (6 + 94) = 801 · 100 = 80 100.
3.193. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: а) (30 + 8) · 4 и 30 · 4 + 8 · 4; б) 50 · 7 + 2 · 8 и (50 + 2) · 7.
а) По распределительному свойству (30 + 8) · 4 = 30 · 4 + 8 · 4, значения равны. б) (50 + 2) · 7 = 50 · 7 + 2 · 7. У выражений одинаковое первое слагаемое 50 · 7, а второе слагаемое 2 · 8 больше, чем 2 · 7. Значит, 50 · 7 + 2 · 8 > (50 + 2) · 7 (366 > 364).
3.194. Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны: а) 13 см и 7 см; б) 22 см и 5 см. Выберите удобный способ вычисления для каждого случая. Объясните свой выбор.
P = (a + b) · 2 или P = a · 2 + b · 2. а) (13 + 7) · 2 = 20 · 2 = 40 (см) — удобнее сначала сложить стороны: получается круглое число 20. б) 22 · 2 + 5 · 2 = 44 + 10 = 54 (см), или (22 + 5) · 2 = 27 · 2 = 54 (см) — оба способа просты; сумму 27 удвоить так же легко.
3.195. Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 2 ч. Скорость одного из них 9 км/ч, а другого — 11 км/ч. Найдите расстояние между посёлками.
Скорость сближения 9 + 11 = 20 (км/ч). Расстояние: 20 · 2 = 40 (км). Другой способ: 9 · 2 + 11 · 2 = 18 + 22 = 40 (км). Ответ: 40 км.