Странички для любознательных. Готовимся к олимпиаде (продолжение) — с. 83
7. Реши подбором. В коробке лежат синие, красные и жёлтые кубики — всего 20 кубиков. Синих кубиков в 6 раз больше, чем жёлтых. Красных кубиков меньше, чем синих. Сколько красных кубиков в коробке?
Пусть жёлтых y, тогда синих 6y, красных 20 − 7y. Подбираем y: y = 1 — синих 6, красных 13, а красных должно быть меньше синих (13 > 6) — не подходит; y = 2 — синих 12, красных 20 − 14 = 6, 6 < 12 — подходит; y = 3 — 7 · 3 = 21 > 20 — не подходит. Ответ: 6 красных кубиков (2 жёлтых, 12 синих).
8. За две книги заплатили 272 р. Цена одной книги составляет третью часть цены другой книги. Сколько стоит каждая книга?
Дешёвая книга — 1 часть, дорогая — 3 части, всего 4 части. 1) 272 : 4 = 68 (р.) — дешёвая. 2) 68 · 3 = 204 (р.) — дорогая. Проверка: 68 + 204 = 272. Ответ: 68 р. и 204 р.
9. Во время медосбора пчела вылетает из улья и летит к липе со скоростью 4 м/с, собирает нектар и возвращается в улей через 7 мин со скоростью 2 м/с. На каком расстоянии от улья находится липа, если на сбор нектара у пчелы уходит 1 мин?
1) 7 − 1 = 6 (мин) = 360 с — пчела летит туда и обратно. Пусть расстояние d. Время туда d : 4, обратно d :
2. Подбор или рассуждение: на 1 м пути туда уходит 1/4 с, обратно 1/2 с, вместе 3/4 с на каждый метр расстояния. 2) 360 : 3 · 4 = 480 (м). Проверка: 480 : 4 = 120 с, 480 : 2 = 240 с, 120 + 240 = 360 с. Ответ: 480 м.
10. Между некоторыми цифрами 1 2 3 4 5 поставь знаки арифметических действий и скобки так, чтобы получить новое числовое выражение, значение которого равно 40.
Например, 1 − 2 · 3 + 45 = 1 − 6 + 45 = 40. Цифры 4 и 5 здесь стоят рядом и образуют число 45 (между ними знак не ставим).
11. Начерти отрезок AD длиной 7 см. Отметь на нём точки B и C так, чтобы отрезок BC был в 2 раза короче отрезка AB и в 2 раза длиннее отрезка CD.
Пусть CD — 1 часть. Тогда BC = 2 части (в 2 раза длиннее CD), AB = 4 части (BC в 2 раза короче AB). Всего 1 + 2 + 4 = 7 частей. 7 : 7 = 1 (см) — одна часть. CD = 1 см, BC = 2 см, AB = 4 см. Откладываем от A 4 см — получаем B, от B ещё 2 см — получаем C; до D остаётся 1 см. Порядок точек A, B, C, D.
12. Периметр одного прямоугольника равен 20 см, а другого — 22 см. Площадь каждого из этих многоугольников 24 см². Начерти в тетради эти прямоугольники.
Первый: полупериметр 20 : 2 = 10 см, ищем стороны, сумма которых 10, а произведение 24: 4 и 6 (4 · 6 = 24). Прямоугольник 6 см × 4 см. Второй: полупериметр 22 : 2 = 11 см, сумма сторон 11, произведение 24: 3 и 8 (3 · 8 = 24). Прямоугольник 8 см × 3 см. (На рисунке масштаб уменьшен: 1 см — 30 пикселей; в тетради чертите в натуральную величину, 1 см = 2 клетки.)
13. Начерти окружность любого радиуса. Не выполняя измерений, проведи внутри окружности 2 равных отрезка. Покажи два решения.
Решение 1: проводим два диаметра — все диаметры одной окружности равны (каждый равен двум радиусам). Решение 2: ставим ножку циркуля в любую точку A окружности, раствором циркуля, равным радиусу, делаем засечку B на окружности; из B тем же раствором делаем засечку C. Отрезки AB и BC — хорды, оба равны радиусу, значит, равны между собой.
14. Восстанови пропущенные числа. (Деление столбиком: 14 : 7 = ; первое вычитаемое **5, затем вычитают 1, остаток 0.)
Последняя цифра первого вычитаемого 5, значит, 7 · (первая цифра частного) оканчивается на 5 — это цифра 5. Второе вычитаемое 1 — произведение делителя и второй цифры частного: 7 · 3 = 21 оканчивается на 1, значит, вторая цифра 3. Двузначное вычитаемое 1 = делитель · 3 < 100, значит, делитель не больше 33; а делитель · 5 трёхзначное, значит, делитель не меньше 20. Делитель оканчивается на 7: 27. Проверка: 27 · 5 = 135 (143 − 135 = 8, снесли 1 → 81), 27 · 3 = 81, остаток 0. Делимое 27 · 53 = 1 431. Ответ: 1 431 : 27 = 53.